数论-1智乃的数字

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题目描述

如果一个奇数满足以下两个条件之一：
 

• 以555结尾
• 各个数位相加的和是333的倍数

则称它是一个"智数"

前555个"智数"分别为{3,5,9,15,21}\{3,5,9,15,21\}{3,5,9,15,21}

现在智乃想要你给升序排序第kkk个"智数"

输入描述:

第一行输入一个正整数T(1≤T≤105)T(1\leq T \leq 10^5)T(1≤T≤105)表示测试用例的组数

对于每组测试用例，在一行中输入一个正整数k(1≤k≤109)k(1\leq k \leq 10^9)k(1≤k≤109)

输出描述:

对于每个问题，输出一行一个正整数，表示问题的答案

示例1

输入

5
1
2
3
4
5

输出

3
5
9
15
21

示例2

输入

1
1000000000

输出

4285714285

关键原理分析

1. 周期性观察：

   • 通过观察前几个智数 {3, 5, 9, 15, 21, 25, 27}，发现它们以30为周期重复出现。

   • 每增加30，新的智数由基数组 a 中的元素加上30的倍数生成（如 3→33→63, 5→35→65）。

2. 数学推导：

   • 奇数的性质：若 x 是奇数，则 x + 30 仍为奇数。

   • 条件保持：

     • 以5结尾：若 x 以5结尾，则 x + 30 仍以5结尾（如 5 → 35）。

     • 数位和是3的倍数：若 x 的数位和是3的倍数，则 x + 30 的数位和增加3（如 3 → 33，数位和3 → 6）。

3. 周期验证：

   • 基数组 a：前7个智数为 {3,5,9,15,21,25,27}，共7个。

   • 每30个数生成7个新智数：例如，3 + 30 = 33，5 + 30 = 35，依此类推，均满足智数条件。

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代码逻辑

1. 预处理基数组 a：

   • 存储前7个智数，作为周期性重复的基准值。

2. 计算第k个智数：

   • k减1：将输入调整为从0开始的索引。

   • 周期计算：

     • chu = k // 7：确定完整周期的个数。

     • yu = k % 7：确定当前周期内的偏移量。

   • 结果生成：chu * 30 + a[yu]，即基准值加上周期倍数。

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正确性验证

• 示例验证：

  • k=1 → k-1=0 → chu=0, yu=0 → 0*30 + 3 = 3。

  • k=7 → k-1=6 → chu=0, yu=6 → 0*30 + 27 = 27。

  • k=8 → chu=1, yu=0 → 30 + 3 = 33（第8个智数）。

• 周期性保持：

  • 基数组中的每个数加30后仍满足智数条件，确保后续所有数正确。

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复杂度与优势

• 时间复杂度：O(1) 每查询，远优于二分法的 O(log(1e18))。

• 适用场景：高效处理大范围查询（如 k ≤ 1e9），通过预计算避免重复计算。

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  #include
  using namespace std;
  int a[22]={3,5,9,15,21,25,27};
  int main(){
      int n;
      int t;
      cin>>t;
      while(t--){
          int k;
          cin>>k;
          k--;
          long long chu=k/7,yu=k%7;
          cout<