【动态规划-斐波那契类型】1.爬楼梯

题目

难度： 简单
题目内容： 假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
示例1：
输入：n = 2，
输出：2，
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
示例2：
输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

前置思路

这个题很简单，最初想到用迭代解法，最近学废了 @cache 的用法，更易于理解

我的代码

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        @cache
        def countMethods(n:int) -> int:
            # base case
            if n <= 2:
                return n
            # 每一步都有两种走法，走一步或走两步
            return countMethods(n-1) + countMethods(n-2)
        return countMethods(n)

然而这种解法时间和空间复杂度都是最差的，但非常便于理解，可能是小白最常想到的解法。
@cache的作用是将该函数的输入输出进行缓存，当遇到同输入的情况时，不计算过程直接取缓存的输出作为输出值

动态规划解

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        # 假设在中间某一级，可以发现到达该级的方法数等于到达前一级的方法数+达到前两级的方法数
        # 即dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        dp = [0] * (n + 1)
        # 需要设置一个初始边界值
        dp[0],dp[1] = 1,1
        for i in range(2,n+1):
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        return dp[n]

思考

其实很容易发现，该题答案实际为斐波那契数列，因此有更简单的方法就是直接使用斐波那契数列的公式得到结果：

		class Solution:
	    def climbStairs(self, n: int) -> int:
	        sqrt_5 = sqrt(5)
	        fib_n = pow((1 + sqrt_5) / 2, n + 1) - pow((1 - sqrt_5) / 2,n + 1)
	        return int(fib_n / sqrt_5)