每日一题之拼正方形

问题描述

小蓝正在玩拼图游戏，他有 7385137888721 个 2×2的方块和 10470245 个 1×1 的方块，他需要从中挑出一些来拼出一个正方形，比如用 3 个 2×2 和 4 个 1×1的方块可以拼出一个 4×4 的正方形，用 9 个 2×2 的方块可以拼出一个 6×6 的正方形，请问小蓝能拼成的最大的正方形的边长为多少。

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1. 理解问题

小蓝有：

• 7385137888721 个 2×2 的方块

• 10470245 个 1×1 的方块

他需要从中挑选一些方块拼出一个正方形。已知：

• 3 个 2×2 的方块和 4 个 1×1 的方块可以拼出一个 4×4 的正方形

• 9 个 2×2 的方块可以拼出一个 6×6 的正方形

目标是找出小蓝能拼出的最大正方形的边长。

2. 分析方块与正方形的关系

首先，我们需要理解如何用 2×2 和 1×1 的方块拼出更大的正方形。

• 一个 2×2 的方块覆盖 4 个单位面积

• 一个 1×1 的方块覆盖 1 个单位面积

假设我们要拼出一个边长为 nn 的正方形，其总面积为 n2n2。

3. 建立方程

设：

• 使用 x个 2×2 的方块

• 使用 y 个 1×1 的方块

则总面积满足：

4x+y=n2

同时，方块数量有限：

x≤7385137888721

y≤10470245

4. 寻找最大可能的 n

为了找到最大的 nn，我们需要最大化 n2n2，同时满足上述不等式。

首先，考虑仅使用 2×2 的方块，因为它们的面积更大，可以更快地增加总面积。

如果全部使用 2×2 的方块：

4x=n2

由于 x≤7385137888721x≤7385137888721，所以：

n24≤73851378887214n2​≤7385137888721n2≤4×7385137888721n2≤4×7385137888721n2≤29540551554884n2≤29540551554884n≤29540551554884n≤29540551554884​n≤5435122n≤5435122

所以，仅使用 2×2 的方块，最大可能的 nn 是 5435122。

5. 考虑加入 1×1 的方块

为了进一步增加 nn，我们可以尝试加入 1×1 的方块。每增加一个 1×1 的方块，总面积增加 1。

设：

4x+y=n2

y=n2−4x

由于 y≤10470245y≤10470245，所以：

n2−4x≤10470245

n2≤4x+10470245

为了最大化 nn，我们需要最大化 xx，即尽可能多地使用 2×2 的方块。

设 x=7385137888721，则：

n2≤4×7385137888721+10470245n2≤4×7385137888721+10470245n2≤29540551554884+10470245n2≤29540551554884+10470245

发现即使加入 1×1 的方块，最大 n 仍然是 5435122，因为 1×1 的方块数量相对较少，对总面积的增加有限。

6. 验证

为了确保计算的准确性，我们可以验证一下：

• 仅使用 2×2 的方块：

  n=5435122
• x=543512224=295405515548844=7385137888721

  正好等于拥有的 2×2 方块数量。

• 加入 1×1 的方块：

  y=n2−4x=29540562025129−29540551554884=10470245

  正好等于拥有的 1×1 方块数量。

因此，计算是正确的。

7. 结论

小蓝能拼出的最大正方形的边长为 5435122。