算法训练（leetcode）二刷第三十八天 | 1143. 最长公共子序列、1035. 不相交的线、53. 最大子数组和、392. 判断子序列

1143. 最长公共子序列

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本题和300. 最长递增子序列相似（题解）。

使用动态规划：

1. dp数组含义：dp[i][j]表示 以text1[i-1]结尾的子串A 和 以text2[j-1]结尾的子串B 的最长公共子序列的长度。
2. 思路同300. 最长递增子序列，每个状态更新基于前面的状态，为了防止越界，dp数组下标从1开始。
3. 状态转移方程：

• 当 text1[i-1] == text2[j-1] 时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
• 当 text1[i-1] == text2[j-1] 时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
  • 这里解释一下 max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) 的含义：由于dp数组存储的是两个子串的最长公共子序列的长度，当两个子串的单个字符不匹配时，对应下标处的dp值要赋值为前面子串的匹配情况取最长，即dp[i-1][j]表示以text1[i-2]结尾的子串A和以text2[j-1]结尾的子串B 的最长公共子序列的长度，dp[i][j-1]表示以text1[i-1]结尾的子串A和以text2[j-2]结尾的子串B 的最长公共子序列的长度。

时间复杂度： $O(n\ast m)$
空间复杂度： $O(n\ast m)$

// java
class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int len1 = text1.length(), len2 = text2.length();
        char[] arr1 = text1.toCharArray(), arr2 = text2.toCharArray();
        int[][] dp = new int[len1+1][len2+1];


        for(int i = 1; i <= len1; i++){
            for (int j = 1; j <= len2; j++){
                if(arr1[i-1] == arr2[j-1]){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                } else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j-1], dp[i-1][j]);
                }
                // System.out.print(dp[j] + " ");
            }
            // System.out.println();
        }
        return dp[len1][len2];

    }
}

1035. 不相交的线

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本题其实与上一题1143. 最长公共子序列的思路完全一致。题目的描述时要求找不相交的线的最大连线数，而不相交的线其实就是找两个序列的公共子序列（不相交就是两个子序列在原序列中相对顺序一致）。

时间复杂度： $O(n\ast m)$
空间复杂度： $O(n\ast m)$

// java
class Solution {
    public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
        int len1 = nums1.length, len2 = nums2.length;
        
        int[][] dp = new int[len1+1][len2+1];

        for(int i=1; i<=len1; i++){
            for(int j=1; j<=len2; j++){
                if(nums1[i-1] == nums2[j-1]){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                } else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        
        return dp[len1][len2];
    }
}

53. 最大子数组和

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• dp数组含义：
  dp[i]表示以nums[i]结尾（包含）的最大子数组和

• 状态转移方程：
  dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);

  • dp[i-1] + nums[i]表示上一个（以nums[i-1]结尾的）子序列加入当前nums[i]
  • nums[i]表示从当前元素开始从头计算（仅包含当前元素的子序列）

• 初始化：
  dp[i]表示以nums[i]结尾（包含）的最大子数组和，因此dp[0]初始化为nums[0]，后面状态均为0.

时间复杂度： $O(n)$
空间复杂度： $O(n)$

动态规划

// java
class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int[] dp = new int[len];
        dp[0] = nums[0];
        int result = nums[0];
        for(int i=1; i<len; i++){
            dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);
            result = Math.max(dp[i], result);
        }
        return result;
        
    }
}

优化版

可以看到在动规中每个状态的更新都仅依赖于前一个状态，因此无需使用数组，仅使用一个变量来记录前一个状态。

时间复杂度： $O(n)$
空间复杂度： $O(1)$

// java
class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int res = nums[0];
        int result = nums[0];
        for(int i=1; i<len; i++){
            res = Math.max(res + nums[i], nums[i]);
            result = Math.max(res, result);
        }
        return result;
        
    }
}

392. 判断子序列

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本题本质上依旧是寻找最长公共子序列。给定s和t，判断s是否是t的子序列，也就是查看s和t的最长公共子序列长度是否等于s的长度。

• dp数组含义：
  dp[i][j]表示 以s[i-1]结尾的子串A 和 以t[j-1]结尾的子串B 的最长公共子序列。
• 状态转移方程：
  • 当s[i-1] == t[j-1]时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
  • 当s[i-1] != t[j-1]时，dp[i][j] = dp[i][j-1];

这里不匹配时为什么是 dp[i][j] = dp[i][j-1] 而不是 dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
因为是在t中查找s是否是子序列，因此在不匹配时，只能删除t中的字符来查看分别以s[i-1]和t[j-2]结尾的子串的匹配情况。

而1143. 最长公共子序列不给定谁为子串，因此需要分别考虑各自为另一个字符串的子串的情况。

时间复杂度： $O(n\ast m)$
空间复杂度： $O(n\ast m)$

// java
class Solution {
    public boolean isSubsequence(String s, String t) {
        char[] sArry = s.toCharArray();
        char[] tArry = t.toCharArray();
        int len1 = s.length(), len2 = t.length();
        int[][] dp = new int[len1+1][len2+1];

        for(int i=1; i<=len1; i++){
            for(int j=1; j<=len2; j++){
                if(sArry[i-1] == tArry[j-1]){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i][j-1];
                }
                // System.out.print(dp[i][j] + " ");
            }
            // System.out.println();
        }
        return dp[len1][len2] == len1;
    }
}