标量、向量、矩阵与张量：从维度理解数据结构的层次

在数学和计算机科学中，维度描述了数据结构的复杂性，而标量、向量、矩阵、张量则是不同维度的数据表示形式。它们的关系可以理解为从简单到复杂的扩展，以下是详细解析：

1. 标量（Scalar）：0维数据

• 定义：单个数值，没有方向，只有大小。

• 维度：0维（无索引）。

• 示例：

  • 温度（25℃）、年龄（30岁）、灰度图像的单个像素值（128）。

• 特点：基础数据单元，所有复杂结构的起点。

2. 向量（Vector）：1维数据

• 定义：有序排列的标量集合，具有方向和大小。

• 维度：1维（单索引）。

• 示例：

  • 用户特征向量：年龄=25,身高=175cm,月消费=2000元年龄=25,身高=175cm,月消费=2000元。

  • 坐标点：x=3,y=4x=3,y=4（二维向量）。

• 特点：

  • 可表示单一实体的多个属性。

  • 支持向量运算（如点积、范数计算）。

3. 矩阵（Matrix）：2维数据

• 定义：由行和列组成的二维数组，每个元素是标量。

• 维度：2维（行索引 + 列索引）。

• 示例：

  • 灰度图像：32×32矩阵，每个元素表示像素的亮度（0-255）。

  • 用户-商品评分矩阵：N个用户 × M个商品的评分表。

• 特点：

  • 表示实体与多维度特征的关联。

  • 支持矩阵乘法、转置等运算。

4. 张量（Te