机器学习校招面经二

快手 机器学习算法

一、AUC（Area Under the ROC Curve）怎么计算？AUC接近1可能的原因是什么？

见【搜广推校招面经四】
AUC 是评估分类模型性能的重要指标，用于衡量模型在不同阈值下区分正负样本的能力。它是 ROC 曲线（Receiver Operating Characteristic Curve）下的面积。

1.1. ROC 曲线的坐标

ROC 曲线以 真正例率（True Positive Rate, TPR） 为纵轴，假正例率（False Positive Rate, FPR） 为横轴。

1.1.1. 真正例率(TPR) = 召回率(Recall) = 灵敏度(Sensitivity)

$$=\frac{TP}{TP+FN}=\frac{TP}{P}$$
其中：

• $TP$：真正例（True Positives），即模型正确预测的正样本数。
• $FN$：假反例（False Negatives），即模型错误预测的负样本数。

2.2 假正例率（FPR）

$$FPR=\frac{FP}{FP+TN}=\frac{FP}{N}$$
其中：

• $FP$：假正例（False Positives），即模型错误预测的正样本数。
• $TN$：真反例（True Negatives），即模型正确预测的负样本数。

1.2. AUC 的计算公式

AUC 是 ROC 曲线下的面积，可以通过以下方法计算：

1.2.1. 积分法

$$AUC={\int }_0^{1}TPR(FPR)dFPR$$
即对 ROC 曲线下的面积进行积分。

1.2.2. 排序法（更常用）

AUC 可以通过对样本的预测概率进行排序计算：
$$AUC=\frac{{\sum }_{i=1}^{N_{+}}{\sum }_{j=1}^{N_{-}}\mathbb{I}(p_i>p_j)}{N_{+}\times N_{-}}$$
其中：

• ( N_+ )：正样本的数量。
• ( N_- )：负样本的数量。
• ( p_i )：第 ( i ) 个正样本的预测概率。
• ( p_j )：第 ( j ) 个负样本的预测概率。
• $\mathbb{I}(p_i>p_j)$：指示函数，当$p_i>p_j$ 时为 1，否则为 0。

1.3. 手撕AUC

def cal_auc_1(label, pred):
    numerator = 0    # 分子
    denominator = 0  # 分母
    for i in range(len(label) - 1):
        for j in range(i, len(label)):
            if label[i] != label[j]:
                denominator += 1
                # 统计所有正负样本对中，模型把相对位置排序正确的数量
                r = (label[i] - label[j]) * (pred[i] - pred[j])
                if r > 0:
                    numerator += 1
                elif r == 0:
                    numerator += 0.5
    return numerator / denominator

二、LR逻辑回归的损失函数，使用熟悉的语言，写出交叉熵的伪代码

首先明确，逻辑回归的损失函数是交叉熵损失函数，也被称为对数损失函数（log loss）。
手撕：见【搜广推校招面经二十三】

import numpy as np

class LogisticRegression:
    def __init__(self, learning_rate=0.01, num_iterations=1000):
        self.learning_rate = learning_rate  # 学习率
        self.num_iterations = num_iterations  # 迭代次数
        self.theta = None  # 模型参数
    
    def sigmoid(self, z):
        """计算 Sigmoid 函数"""
        return 1 / (1 + np.exp(-z))
    
    def compute_cost(self, X, y):
        """计算交叉熵损失函数"""
        m = len(y)
        h = self.sigmoid(np.dot(X, self.theta))
        cost = - (1/m) * np.sum(y * np.log(h) + (1 - y) * np.log(1 - h))
        return cost
    
    def gradient_descent(self, X, y):
        """梯度下降优化"""
        m = len(y)
        for i in range(self.num_iterations):
            h = self.sigmoid(np.dot(X, self.theta))  # 计算预测值
            gradient = (1/m) * np.dot(X.T, (h - y))  # 计算梯度
            self.theta -= self.learning_rate * gradient  # 更新参数
            if i % 100 == 0:  # 每100次输出一次损失值
                cost = self.compute_cost(X, y)
                print(f"Iteration {i}, Cost: {cost}")
    
    def fit(self, X, y):
        """训练模型"""
        m, n = X.shape
        self.theta = np.zeros(n)  # 初始化参数
        self.gradient_descent(X, y)
    
    def predict(self, X):
        """预测新样本的类别"""
        probabilities = self.sigmoid(np.dot(X, self.theta))
        return probabilities >= 0.5  # 预测类别：如果大于等于 0.5，分类为 1，否则为 0

三、平均绝对误差（MAE）与均方误差（MSE）的理解及区别

见【搜广推实习面经四】

3.1. 平均绝对误差（MAE）

定义

MAE表示预测值和真实值之间绝对误差的平均值，是一个非负值，MAE越小表示模型越好。其公式如下：
$$MAE=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n|y_i-{\hat{y}}_i|$$
其中 $y_i$ 是真实值，${\hat{y}}_i$ 是预测值，$n$ 是样本数量。

特点

• 直观性: MAE以原始数据单位表示，因此更直观易懂。例如，在房价预测问题中，MAE可以直接解释为预测价格与实际价格之间的平均偏差。
• 鲁棒性: MAE对异常值不敏感，因为它使用的是绝对值而不是平方值来计算误差。这意味着即使存在极端值，其影响也不会被放大。

3.2. 均方误差（MSE）

定义

MSE是预测值和真实值之间误差平方的平均值。其公式如下：
$$MSE=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$$

特点

• 敏感性: MSE对较大的误差更为敏感，因为误差被平方后，较大的误差会被进一步放大。这使得MSE非常适合用于检测异常值或重要的偏离情况。
• 可微性: MSE是一个平滑可微的函数，便于进行数学运算和优化算法的应用。

3.3. 区别

3.3.1. 误差处理方式

• MAE采用绝对值处理误差，所有个体差异在平均值上的权重都相等。
• MSE则通过对误差进行平方处理，给予大误差更多的权重，从而更加突出大误差的影响。

3.3.2. 对异常值的反应

• MAE由于其线性性质，对异常值具有较好的鲁棒性。
• 相比之下，MSE由于其平方特性，对异常值更加敏感。

3.3.3. 优化过程中的表现

• 在训练过程中，MAE可能导致更新梯度始终相同的问题，即使对于很小的损失值，梯度也可能较大，不利于模型的学习。
• 而MSE在这种情况下的表现较好，即便使用固定的学习率也可以有效收敛，因为其梯度随损失增大而增大，损失趋于0时则会减小。

3.3.4. 应用场景

• 如果异常点代表了商业上重要的异常情况，并且需要被检测出来，则应选用MSE作为损失函数。
• 若仅把异常值当作受损数据，则应选用MAE作为损失函数。