《代码随想录第五十一天》——回文子串、最长回文子序列

《代码随想录第五十一天》——回文子串、最长回文子序列

本篇文章的所有内容仅基于C++撰写。

1. 回文子串

1.1 题目

回文子串
给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。
回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。
子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

示例 1：
输入：s = “abc”
输出：3
解释：三个回文子串: “a”, “b”, “c”

示例 2：
输入：s = “aaa”
输出：6
解释：6个回文子串: “a”, “a”, “a”, “aa”, “aa”, “aaa”

提示：
1 <= s.length <= 1000
s 由小写英文字母组成

1.2 分析

动规五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

2. 确定递推公式
   在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况：

• 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
• 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
• 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。即：

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        result++; //统计回文子串的数量
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        result++;
        dp[i][j] = true;
    }
}

3. dp数组如何初始化
   dp[i][j]初始化为false，以便于接下来的判断，是回文则更改为true，否则保留为false。

4. 确定遍历顺序
   首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。
   所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

1.3 代码

1. 原版

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector> dp(s.size(), vector(s.size(), false));
        int result = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
};

2. 简洁版

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector> dp(s.size(), vector(s.size(), false));
        int result = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
                    result++;
                    dp[i][j] = true;
                }
            }
        }
        return result;
    }
};

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n^2)

2. 最长回文子序列

2.1 题目

最长回文子串
给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

示例 1：
输入：s = “bbbab”
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 “bbbb” 。

示例 2：
输入：s = “cbbd”
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 “bb” 。

提示：
1 <= s.length <= 1000
s 仅由小写英文字母组成

2.2 分析

相比于上一题，回文子序列是可以跳过字符的。
动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

2. 确定递推公式
   在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。

• 如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

• 如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
  – 加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
  – 加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
  那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

3. dp数组如何初始化
   从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式计算不到 i 和 j 相同时候的情况（因为i和j会形成一个上三角矩阵，只有i<=j的值才有意义，例如dp[4][2]是找从下标4到下标2的字符串，这是没有意义的）。因此，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

vector> dp(s.size(), vector(s.size(), 0));
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;

4. 确定遍历顺序
   从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]。所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，从左向右遍历。

2.3 代码

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][s.size() - 1];
    }
};

• 时间复杂度: O(n^2)
• 空间复杂度: O(n^2)