部分背包问题（贪心算法）

一、概念与问题背景

部分背包问题是一种经典的优化问题，其中给定一系列物品，每个物品有一定的重量和价值，目标是在一个固定容量的背包中装入物品，使得背包中物品的总价值最大。与0/1背包问题不同，部分背包问题允许将物品分割，即可以只选择物品的一部分装入背包。

二、贪心策略介绍

对于部分背包问题，贪心算法是一种有效的解决策略。贪心策略的基本思想是，在每一步选择中，都采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法。

具体到部分背包问题，贪心策略是优先选取单位重量价值（性价比）最大的物品。这里的单位重量价值是指物品的价值除以其重量。通过优先选择单位重量价值最大的物品，可以确保在每一步都尽可能增加背包的总价值。

三、算法步骤

  1. 计算单位重量价值：首先，需要计算每个物品的单位重量价值，即每个物品的价值除以其重量。

  2. 排序：接下来，将所有物品按照单位重量价值从大到小进行排序。

  3. 选择物品：然后，从排序后的物品列表中依次选择物品。对于每个物品，如果其重量小于或等于背包的剩余容量，则将其全部装入背包，并更新背包的剩余容量。如果物品的重量大于背包的剩余容量，则只将背包剩余容量所对应的物品部分装入背包，此时背包已满，算法结束。

四、正确性证明

贪心策略的正确性在于，如果我们总是优先选择单位重量价值最大的物品，那么我们可以保证在每一步都获得当前状态下的最优解。通过归纳法可以证明，这种策略最终可以得到全局最优解。

假设我们已经按照单位重量价值从大到小对物品进行了排序，并考虑一个全局最优解。我们可以证明，通过贪心策略得到的解与全局最优解在每一步选择中都是相同的，或者贪心策略得到的解在每一步选择中都不比全局最优解差。因此，最终贪心策略得到的解一定是全局最优解。

五、实际应用

部分背包问题的贪心算法在实际中有广泛的应用。例如，在资源分配、投资决策等领域，经常需要面对类似的问题：在有限的资源或预算下，如何选择项目或资产以最大化收益或价值。通过应用部分背包问题的贪心算法，我们可以有效地解决这些问题。

总的来说，部分背包问题的贪心算法是一种简单而有效的解决策略，它利用了贪心策略的思想，通过优先选择单位重量价值最大的物品来确保每一步都尽可能增加背包的总价值。

六、完整代码

#include
#include
void Sort(int n, float* v, float* w);
void Knapsack(int n,float M,float W[],float P[],float x[]);

int main()
{
	int n,i;
	float M,*W,*P,*x;
	printf("请输入背包限重：\n");
	scanf("%f",&M);
	printf("请输入物品数目：\n");
	scanf("%d",&n);
	W=(float *)malloc(n*sizeof(float));
	P=(float *)malloc(n*sizeof(float));
	x=(float *)malloc(n*sizeof(float));
	printf("请输入物品重量(体积)和价格:\n");
	for(i=0;i=W[i])//当背包当前重量大于等于物品重量
	{
		x[i]=1;
		m=m-W[i];
		i++;
	}
	if(m