随机过程概率空间

$\sigma$代数和最小$\sigma$代数

$\sigma$代数

$\sigma$代数（$\sigma$-algebra）需满足以下条件：
设 $\mathcal{F}$ 是全集 $X$ 的子集族，若满足：

1. 全集包含：
   $X\in \mathcal{F}$
2. 补集封闭：
   若 $A\in \mathcal{F}$，则 $A^c=X\setminus A\in \mathcal{F}$
3. 可数并封闭：
   若 $A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{F}$，则 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n\in \mathcal{F}$

最小$\sigma$代数

定义

给定全集 $X$ 和子集族 $\mathcal{G}$，最小$\sigma$代数（记为 $\sigma (\mathcal{G})$）是：
满足以下条件的最小的$\sigma$代数：

1. $\mathcal{G}\subseteq \sigma (\mathcal{G})$
2. 对任意包含 $\mathcal{G}$ 的$\sigma$代数 $\mathcal{F}$，有 $\sigma (\mathcal{G})\subseteq \mathcal{F}$

构造方法

$$\sigma (\mathcal{G})=\bigcap \left\{\mathcal{F}:\mathcal{F}\text{ 是包含 }\mathcal{G}\text{ 的 }\sigma \text{代数}\right\}$$

示例

• 若 $\mathcal{G}=\{A\}$（单个子集），则 $\sigma (\mathcal{G})=\{\varnothing ,A,A^c,X\}$
• Borel $\sigma$代数：由实数集 $\mathbb{R}$ 上所有开集生成的$\sigma$代数