11.【线性代数】——矩阵空间，秩1矩阵，小世界图

空间：组成空间的元素的线性组合都在这个空间中。

1. 矩阵空间

举例：矩阵空间（$M$ 所有3x3的矩阵）
$M_{3\ast 3}$的基
[ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] , [ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ] , [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ] , [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] , [ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ] , [ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ] , [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \newline \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \newline \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 1&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} ​100​000​000​ ​, ​000​100​000​ ​, ​000​000​100​ ​ ​010​000​000​ ​, ​000​010​000​ ​, ​000​000​010​ ​ ​001​000​000​ ​, ​000​001​000​ ​, ​000​000​001​ ​
维度为9。

对称矩阵($S$)的基，维度为6
[ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] , [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] , [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] [ 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ] , [ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ] , [ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 ] \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \newline \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 1&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0 \end{bmatrix} ​100​000​000​ ​, ​000​010​000​ ​, ​000​000​001​ ​ ​010​100​000​ ​, ​001​000​100​ ​, ​000​001​010​ ​

上三角矩阵($U$)的基，维度为6
[ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] , [ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ] , [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] , [ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ] , [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \newline \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} ​100​000​000​ ​, ​000​100​000​ ​, ​000​000​100​ ​ ​000​010​000​ ​, ​000​000​010​ ​, ​000​000​001​ ​

交集 和 和集

交集：$S\cap U=对角矩阵，维度是3$
和集：$S+U=M,dim(S+U)=9$

$$dim(S+U)+dim(S\cap U)=dim(S)+dim(U)$$

2. 所有解空间

对于 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+t=0,y=\underset{解基}{cosx,sinx}$
解空间 $y=c_{1}cosx+c_{2}sinx$

3. $r=1$的矩阵

$$\underset{A_{2\ast 3}}{\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 5\\ 2& 8& 10\end{array}\right]}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 5\end{array}\right]$$
所有$r=1$的矩阵，可以拆成 $A=u{v}^T$

4. 题目

在$R^4$中， V = [ v 1 v 2 v 3 v 4 ] V=\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4 \end{bmatrix} V= ​v1​v2​v3​v4​​ ​，$S=所有V在R^4中，满足v_1+v_2+v_3+v_4=0。S能否构成子空间呢？$

能。相当于$AV=0，S=N(A)$
[ 1 1 1 1 ] ⏟ A [ v 1 v 2 v 3 v 4 ] ⏟ V = 0 \underbrace{\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4 \end{bmatrix}}_{V}=0 A [1​1​1​1​]​​V ​v1​v2​v3​v4​​ ​​​=0
A矩阵的秩为1，$dim(N(A))=n-r=4-1=3$
S的基为（等价于求AV=0的解空间）
[ − 1 1 0 0 ] , [ − 1 0 1 0 ] , [ − 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix} -1\\1\\0\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1\\0\\1\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1\\0\\0\\1 \end{bmatrix} ​−1100​ ​, ​−1010​ ​, ​−1001​ ​

5. 小世界图

图的定义 $graph=\{nodes,edges\}$