最大公约数和最小公倍数

最大公约数和最小公倍数

最大公约数

两个数 a 和 b 的最大公约数是指它们所有公约数中最大的那个，通常记作 gcd(a, b)。

定义

• 公约数：能同时整除 a 和 b 的正整数。
• 最大公约数：所有公约数集合中的最大值。
• 例如：gcd(12, 18) = 6，因为 6 是 12 和 18 的最大公约数。

求解方法

1. 欧几里得算法（辗转相除法）

原理：对于正整数 a 和 b，有 gcd(a, b) = gcd(b, a % b)，其中 % 表示取模运算（求余数）。
该方法通过不断缩小问题规模，最终找到最大公约数。
详细介绍查看：欧几里得算法-CSDN博客

关键点：

1. 递归公式：gcd(a, b) = gcd(b, a % b)。
2. 终止条件：当 b = 0 时，gcd(a, 0) = a。
3. 适用范围：a 和 b 应为非负整数，且至少一个不为 0。

步骤：

• 用 a 除以 b，得余数 a % b。
• 将 b 作为新的 a，a % b 作为新的 b，继续计算。
• 重复上述过程，直到余数为 0，此时被除数即为最大公约数。

示例：
求 gcd(48, 18)：

1. 48 ÷ 18 = 2 余 12，gcd(48, 18) = gcd(18, 12)。
2. 18 ÷ 12 = 1 余 6，gcd(18, 12) = gcd(12, 6)。
3. 12 ÷ 6 = 2 余 0，gcd(12, 6) = gcd(6, 0)。
4. 当 b = 0 时，结果为 6。
   因此，gcd(48, 18) = 6。

代码实现：

// 递归版本
int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

// 三元运算符简化版
int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

2. 更相减损法（补充）

原理：基于 gcd(a, b) = gcd(a - b, b)（当 a > b 时），通过不断相减缩小问题规模。
缺点：效率低于辗转相除法，尤其当两数差距较大时。

示例：
求 gcd(18, 12)：

1. 18 - 12 = 6，gcd(18, 12) = gcd(12, 6)。
2. 12 - 6 = 6，gcd(12, 6) = gcd(6, 6)。
3. 6 - 6 = 0，gcd(6, 6) = gcd(6, 0)。
4. 结果为 6。

注意事项

• 输入需为整数，若为负数，可取绝对值处理（如 gcd(a, b) = gcd(|a|, |b|)）。
• 若 a = 0 且 b = 0，gcd(0, 0) 通常无定义，但在某些场景下约定为 0。

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最小公倍数

两个数 a 和 b 的最小公倍数是指它们所有公倍数中最小的一个，通常记作 lcm(a, b)。

定义

• 公倍数：同时是 a 和 b 的倍数的正整数。
• 最小公倍数：所有公倍数集合中的最小值。
• 例如：lcm(12, 18) = 36，因为 36 是 12 和 18 的最小公倍数。

求解方法

基于最大公约数

公式：对于正整数 a 和 b，lcm(a, b) = (a * b) / gcd(a, b)。
原理：两个数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。

步骤：

1. 先用欧几里得算法求出 gcd(a, b)。
2. 用公式 lcm(a, b) = (a * b) / gcd(a, b) 计算最小公倍数。

示例：
求 lcm(12, 18)：

1. 已知 gcd(12, 18) = 6。
2. lcm(12, 18) = (12 * 18) / 6 = 216 / 6 = 36。
   因此，lcm(12, 18) = 36。

代码实现：

int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

int lcm(int a, int b) {
    return (a * b) / gcd(a, b);
}

注意事项

• 为避免整数溢出，建议先计算 a / gcd(a, b)，再乘以 b。
• 输入为 0 时，lcm(0, b) 无意义，通常不定义。

优化代码（避免溢出）：

int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

int lcm(int a, int b) {
    return a / gcd(a, b) * b; // 先除后乘
}

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性质

1. gcd(a, a) = a，lcm(a, a) = a。
2. gcd(a, 1) = 1，lcm(a, 1) = a。
3. 若 gcd(a, b) = 1，则 a 和 b 互质，lcm(a, b) = a * b。

应用

• 最大公约数：分数约分、整数分解。
• 最小公倍数：计算周期性事件的共同起点（如两列火车发车时间的最早重合）。