动态规划（Dynamic Programming）

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种解决复杂问题的算法思想，特别适用于有重叠子问题和最优子结构的问题。它通过将问题分解为更小的子问题，并存储子问题的解，避免重复计算，从而提高效率。

一、动态规划的核心思想

1. 重叠子问题：问题可以被分解为若干个子问题，且这些子问题会重复出现。动态规划通过存储子问题的解（通常用数组或表格），避免重复计算。

2. 最优子结构：问题的最优解可以通过其子问题的最优解构造出来。也就是说，全局最优解依赖于局部最优解。

3. 状态转移方程：描述如何从子问题的解推导出当前问题的解。这是动态规划的核心，通常通过递归关系表达。

二、动态规划的步骤

1. 定义状态：明确问题的状态，通常用数组或表格表示，dp[i]或dp[i][j]表示第i个状态或第i行第j列的状态。

2. 确定状态转移方程：找到状态之间的关系，即如何从已知状态推导出未知状态。

3. 初始化：设置初始状态的值，通常为边界条件。

4. 计算顺序：确定计算状态的顺序，通常从简单到复杂，确保计算当前状态时，所需子问题的解已经计算并存储。

5. 返回结果：根据存储的状态，得到最终问题的解。

三、示例：斐波那契数列

斐波那契数列是一个经典的动态规划问题，其中每个数是前两个数的和，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)，初始条件为F(0) = 0，F(1) = 1。

1. 递归解法（非动态规划）

def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return n
    return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

问题：存在大量重复计算，效率低。

2. 动态规划解法

步骤：

1. 定义状态：dp[i]表示第i个斐波那契数。
2. 状态转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。
3. 初始化：dp = 0，dp = 1。
4. 计算顺序：从2到n依次计算。
5. 返回结果：dp[n]。

代码：

def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return n
    dp =  * (n + 1)
    dp, dp = 0, 1
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    return dp[n]

优化：可以进一步优化空间复杂度，只保留前两个状态。

def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return n
    prev, curr = 0, 1
    for _ in range(2, n + 1):
        prev, curr = curr, prev + curr
    return curr

四、常见动态规划问题

1. 背包问题：如0-1背包、完全背包等。
2. 最长公共子序列：找到两个序列的最长公共子序列。
3. 最短路径问题：如Floyd-Warshall算法。
4. 矩阵链乘法：找到矩阵相乘的最优顺序。
5. 编辑距离：计算将一个字符串转换为另一个字符串所需的最少操作。

五、学习建议

1. 理解基本概念：掌握重叠子问题、最优子结构和状态转移方程。
2. 多练习：从简单问题入手，逐步增加难度。
3. 分析经典问题：如背包问题、最长公共子序列等，理解它们的解法和优化思路。
4. 参考代码：阅读优秀代码，学习如何高效实现动态规划。

六、总结

动态规划通过将问题分解为子问题并存储解，避免重复计算，适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题。掌握动态规划的关键在于理解状态定义、状态转移方程和计算顺序，并通过大量练习熟练应用。