机器学习数学通关指南——牛顿-莱布尼茨公式

前言

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正文

一句话总结

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$
其中，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数（即 $F^{\prime }(x)=f(x)$）。

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直观理解方式

1. 从累积到变化率的逆向思考

   • 定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 本质是求函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上与 x 轴围成的“面积”总和。
   • 原函数 $F(x)$ 是描述这一累积量的函数，其导数恰好是瞬时变化率 $f(x)$。
   • 类比：若 $f(x)$ 是速度函数，则原函数 $F(x)$ 是路程函数，$F(b)-F(a)$ 就是总位移（即“速度的累积”等于“路程的变化”）。

2. 几何意义

   • 定积分（面积）可由高度均匀增长的矩形面积近似，而牛顿-莱布尼茨公式通过原函数的差值精确替代了无限细分矩形的累加。
   • 文档中的图示显示，面积 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 等于原函数曲线两端点的纵向高度差 $F(b)-F(a)$。

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关键应用与例子

1. 简化积分计算

   • 文档例题：计算 ${\int }_0^{\pi }\frac{\sin x}{x}dx$ 时，若无法直接积分，可借助原函数分段处理或结合其他技巧（但对简单函数可直接套用公式）。
   • 分段函数案例：若 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 分段定义（如 $f(x)=x^2$ 和 $f(x)=5$ ），则积分拆分为 ${\int }_0^1{x}^{2}dx+{\int }_1^{2}5dx$，分别用原函数计算后相加。

2. 解释物理现象

   • 路程与速度：若已知速度随时间变化函数 $v(t)$，总路程 $S={\int }_a^{b}v(t)dt=S(b)-S(a)$，直接由原函数 $S(t)$（路程函数）的端点差值得出。

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数学意义

1. 微分与积分的统一

   • 微分研究“局部变化率”，积分研究“整体累积量”，公式表明二者通过原函数互为逆运算。
   • 直接联系积分中值定理：文档提到 ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$，结合原函数增量 $F(b)-F(a)$，可推得牛顿-莱布尼茨与中值定理的一致性。

2. 使用条件

   • 重要前提：$f(x)$ 必须在积分区间 $[a,b]$ 上连续（保证原函数存在）。

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总结

牛顿-莱布尼茨公式的实质是：求总量的“笨办法”（无限累加微小量）可以转化为求变化的“聪明办法”（找原函数计算端点差值）。它是工程计算、物理建模的基础工具，也是微积分理论统一的标志。