DAY11 DP动态规划经典例题 采药

题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

第一行有 $2$ 个整数 $T$（$1\le T\le 1000$）和 $M$（$1\le M\le 100$），用一个空格隔开，$T$ 代表总共能够用来采药的时间，$M$ 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 $M$ 行每行包括两个在 $1$ 到 $100$ 之间（包括 $1$ 和 $100$）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

输入输出样例 #1

输入 #1

70 3
71 100
69 1
1 2

输出 #1

3

说明/提示

【数据范围】

• 对于 $30\%$ 的数据，$M\le 10$；
• 对于全部的数据，$M\le 100$。

【题目来源】

NOIP 2005 普及组第三题

这是一道非常经典的动态规划问题，改编于背包问题。
代码的思路就是动态规划，动态规划是一个非常有名的思想。其大致思路是用一步步局部最优，做到整体最优。其中我们需要用状态转移方程来做到每一步都是最优解。
这里的参数非常简单，也就是草药和其对应的时间。
我们可以用dp[i][j]来表示前i个草药中在时间j时所获得最大的价值。因此我们需要得到dp[T][M]，这就是答案。
dp[i][j]有两种得到的方法，分别是拿或者不拿，我们不拿的话就取dp[i-1][j],拿的话就取dp[i-1][j-t[i]]+v[i]，看哪个值最大取谁就可以了。

因此状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - t[i]] + v[i])

代码如下：

#include
#include
using namespace std;
int max(int a, int b) {
	int ans;
	if (a > b)
		ans = a;
	else
		ans = b;
	return ans;
}
int main() {
	int t[110],v[110];//分别代表对应数目的草药采集时间和价值
	int dp[110][1010] = { 0 };//创建DP数组，dp[i][j]表示前i个草药在时间为j时候获得到的最大价值
	int time, num;//t是采药用时间，n是草药个数
	cin >> time >> num;//输入对应的采药时间，和草药的个数
	for (int i = 1;i <= num;i++) {
		cin >> t[i] >> v[i];   //输入第i个草药的采集用时和价值
	}
	for (int i = 1;i <= num;i++) {
		for (int j = 1;j <= time;j++) {
			if (j < t[i])//如果目前时间不够采集这个草药
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			else//能采摘
			{
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - t[i]] + v[i]);//分别是不采摘和采摘的作比较
			}
		}
	}
	cout << dp[num][time];
	return 0;
}

但是这里是二维的写法，因此用到的空间会非常大的大。我曾在之前的文章中写过一个思想，就是降维，那么同样这里也有降维的写法，把状态转移方程从二维写成一维。
一维的状态转移方程，思路是跟二维差不多，倒序遍历时间，dp[i]直接用于表示当前采摘草药的最大价值

一维的状态转移方程为：dp[i]=max(dp[i],dp[i-time]+value);

代码如下：

#include
#include
using namespace std;
int max(int a, int b) {
	int ans;
	if (a > b)
		ans = a;
	else
		ans = b;
	return ans;
}
int main() {
	int T, M;//拥有的时间T，总共药草的个数M
	cin >> T >> M;
	int dp[1010] = { 0 };
	int time, value;
	for (int i = 0;i < M;i++) {
		cin >> time >> value;
		for (int j = T;j >= time;j--) {
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - time] + value);
		}
	}
	cout << dp[T] << endl;
	return 0;
}