【Getting Started】-时间复杂度-Time Complexity

计算算法执行的操作次数。
Measuring the number of operations an algorithm performs.

在编程竞赛中，程序需要在限定时间内运行才能获得评分。例如，对于 USACO，C++ 提交的时间限制是 $2$ 秒，Java/Python 提交的时间限制是 $4$ 秒。对评分服务器每秒能处理的操作数量的保守估计是 $10^8$，但如果常数因子较好，实际值可能接近 $5\ast 10^8$

资料-resources

• 3 - Algorithm Analysis

• 2 - Time Complexity

• 5 - Time Complexity

时间复杂度计算-Complexity Calculations

我们需要一种方法来计算运行每个算法所需的操作次数，这个次数是输入大小 $n$ 的函数。

幸运的是，这可以通过大 $O$ 表示法轻松完成，它将最坏情况下的时间复杂度表示为输入大小 $n$ 的函数，并且随着 $n$ 趋向无穷大。复杂度是算法所需步骤的上界。

使用大 $O$ 表示法，我们将一个函数的复杂度表示为 $O(f(n))$，其中常数因子和低阶项通常被省略。

以下代码的时间复杂度为 $O(1)$，因为它执行的操作数是固定的。

int a = 5;
int b = 7;
int c = 4;
int d = a + b + c + 153;

输入和输出操作也被假定为 $O(1)$。在以下示例中，我们假设循环内的代码是 $O(1)$。

循环的时间复杂度取决于循环的迭代次数。例如，以下代码示例的时间复杂度都是 $O(n)$。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	// constant time code here
}

int i = 0;
while (i < n) {
	// constant time code here
	i++;
}

计算时间复杂度，通常忽视常数因子阶和低阶项，所以以下代码的时间复杂度也为 $O(n)$

for (int i = 1; i <= 5 * n + 17; i++) {
	// constant time code here
}

for (int i = 1; i <= n + 457737; i++) {
	// constant time code here
}

通过将每个循环的时间复杂度相乘来找到多个循环的时间复杂度，以下代码的时间复杂度为 $O(n\ast m)$

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = 1; j <= m; j++) {
		// constant time code here
	}
}

一个算法包含多个块，时间复杂度为所有块中最差的时间复杂度，以下代码的时间复杂度为 $O(n^2)$

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = 1; j <= n; j++) {
		// constant time code here
	}
}
for (int i = 1; i <= n + 58834; i++) {
	// more constant time code here
}

以下代码的时间复杂度为 $O(n^2+m)$【彼此都不互为低阶项】

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = 1; j <= n; j++) {
		// constant time code here
	}
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
	// more constant time code here
}

常见的复杂度和限制-Common Complexities and Constraints

• 计算答案的数学公式 - $O(1)$
• 二分查找 - $O(logn)$
• Sorted set/map/priority - $O(logn)$
• 整数进行质因数分解、检查是否为素数 - $O(\sqrt{n})$
• 快速、归并排序 - $O(n\ast logn)$
• 读入/遍历数组 - $O(n)$
• 迭代所有大小为 k 的子集 - $O(n^k)$
• 迭代所有的子集 - $O(2^n)$
• 全排列 - $O(n!)$

n	时间复杂度
$n\le 10$	$O(n!)、O(n^7)、O(n^6)$
$n\le 20$	$O(2^n\ast n)、O(n^5)$
$n\le 80$	$O(n^4)$
$n\le 400$	$O(n^3)$
$n\le 7500$	$O(n^2)$
$n\le 7\ast 10^4$	$O(n\sqrt{n})$
$n\le 5\ast 10^5$	$O(nlogn)$
$n\le 5\ast 10^6$	$O(n)$
$n\le 10^{18}$	$O(lo{g}^{2}n)、O(logn)、O(1)$

问题集-Quiz

1、什么是时间复杂度？

A、测量算法消耗的内存量

B、测量算法执行的操作数量

C、解决问题所需的时间

Answer：B，你总是希望你的算法运行得尽可能快！

2、大 O 符号表示什么？

A、最好的情况

B、最坏的情况

C、平均情况

Answer：B