LS-SDMTSP：遗传算法（GA）求解大规模单仓库多旅行商问题（LS-SDMTSP），MATLAB代码

一、问题定义

大规模单仓库多旅行商问题（Large-Scale Single-Depot Multi-Traveling Salesman Problem，简称 LS-SDMTSP）是组合优化领域中极具挑战性的经典问题。假设存在一个单一仓库，它既是所有旅行商的出发地，也是最终的返回地。同时，有数量众多的客户节点散布在地理空间中，并且有一支由多个旅行商组成的队伍。每个旅行商需要从仓库出发，遍历一定数量的客户节点，然后返回仓库。在这个过程中，需要达成两个关键目标：其一，必须确保所有客户节点都能被至少一个旅行商访问到；其二，通常以最小化所有旅行商的总行程距离为主要优化目标。当然，在实际应用场景中，根据具体需求，也可能将最小化总时间、总成本等其他指标作为优化方向。例如，在物流配送场景下，成本不仅包括运输里程产生的燃油费，还可能涉及车辆损耗、人力成本等，此时就需要综合考虑这些因素来确定优化目标。

二、问题特点

规模大：该问题涉及大量的客户节点和多个旅行商，随着节点数量和旅行商数量的增加，计算复杂度呈指数级增长。举例来说，当客户节点从 10 个增加到 20 个时，可能的路径组合数量会急剧增加，求解难度大幅提升。这种规模的增长使得传统的简单算法难以在合理时间内处理如此庞大的数据量。
组合复杂性：需要对客户节点进行分组，并为每个旅行商规划路径，这导致存在海量的可能组合。从数学角度来看，假设存在 n 个客户节点和 m 个旅行商，仅考虑客户节点的分组方式，其组合数量就非常巨大，更不用说还要为每个分组规划具体的旅行路线。在如此庞大的解空间中找到最优解，如同在浩瀚星空中寻找特定的星星，难度极高。
约束条件多：
容量限制：每个旅行商都存在容量限制，例如配送车辆有载重上限，或者快递员一次能够携带的包裹数量有限。如果超过这个容量限制，就无法满足实际需求。
时间窗约束：客户只能在特定时间段内接受服务。比如，某些生鲜配送客户要求在上午 10 点到 12 点之间送达货物，这就限制了旅行商的路线规划和时间安排。
路径连通性约束：旅行商必须按照合理的顺序依次访问各个客户节点，路径必须是连通的，不能出现孤立的节点或者无法到达的路径。

三、应用场景

物流配送：物流企业从仓库出发，安排多个配送车辆（旅行商）向多个客户点送货。合理规划路线可以显著降低运输成本，提高配送效率。例如，某大型物流企业每天要向成百上千个客户配送货物，通过优化多旅行商问题的路线规划，能够减少车辆行驶里程，降低燃油消耗和人力成本，同时提高货物送达的及时性。
快递服务：快递分拨中心作为仓库，快递员作为旅行商，需要将包裹派送到各个收件地址。优化路线能减少快递员的工作时间和行程，提高快递服务的质量和效率。以某知名快递公司为例，在大城市中每天有大量的快递需要派送，通过科学的路线规划，快递员可以在更短的时间内完成更多的派送任务，提升客户满意度。
移动机器人路径规划：在大型工厂或仓库中，多个移动机器人需要从一个充电点（仓库）出发，完成对不同区域的货物搬运、巡检等任务。通过解决多旅行商问题可以为机器人规划高效的路径，提高生产自动化水平和效率。比如，在自动化仓储物流中心，移动机器人需要在复杂的货架之间穿梭搬运货物，合理的路径规划可以避免机器人之间的碰撞，提高货物搬运的效率。
资源分配与调度：在电力维修、网络维护等领域，从一个基地派出多个维修团队（旅行商）到不同的故障点（客户节点）进行维修作业。合理安排路线可以快速响应故障，减少维修时间和成本。例如，当出现大面积停电故障时，电力维修部门需要派出多个维修团队前往不同的故障区域，通过优化路线规划，能够使维修团队更快地到达现场，缩短停电时间，减少对居民和企业的影响。

四、常用求解方法

精确算法：
分支定界法：通过不断地将问题分解为更小的子问题，并对每个子问题的解空间进行界定，逐步缩小搜索范围，最终找到最优解。但对于大规模问题，由于子问题数量过多，计算量会变得极其庞大，往往在实际应用中难以在合理时间内完成求解。
动态规划法：将问题分解为一系列相互关联的子问题，通过求解子问题并保存结果，避免重复计算，从而得到原问题的最优解。然而，对于大规模单仓库多旅行商问题，由于状态空间过大，动态规划法的计算时间和空间复杂度都非常高，限制了其应用。
启发式算法：
遗传算法：模拟生物进化过程，通过选择、交叉、变异等操作对种群进行迭代，逐步搜索到较优解。在遗传算法中，每个可能的解被看作是一个个体，通过适应度函数评估个体的优劣，选择适应度高的个体进行交叉和变异，产生新的一代个体。它具有较强的全局搜索能力，但在搜索过程中可能会出现早熟收敛的问题，即过早地陷入局部最优解，无法找到全局最优解。
粒子群算法：将每个解看作是搜索空间中的一个粒子，粒子通过自身的经验和群体中其他粒子的经验来更新自己的位置和速度，从而寻找最优解。粒子群算法具有收敛速度快、易于实现等优点，但在处理复杂问题时，由于粒子容易陷入局部最优区域，可能导致无法找到全局最优解。

五、案例分析

以某电商物流企业为例，该企业在一个城市设有一个大型仓库，每天需要向周边地区的数千个客户配送货物。在采用大规模单仓库多旅行商问题的优化算法之前，物流配送成本较高，配送时间较长，客户满意度较低。通过引入先进的启发式算法，对配送路线进行优化，将配送车辆合理分组，并为每组车辆规划最优路线。经过一段时间的运行，物流配送成本降低了 15%，配送时间平均缩短了 20%，客户满意度显著提高。这充分展示了大规模单仓库多旅行商问题的实际应用价值和优化算法的有效性。

六、遗传算法

6.1遗传算法的基本概念

遗传算法（Genetic Algorithm, GA）作为一种模拟自然选择和遗传机制的搜索启发式算法，属于进化算法的一种。该算法基于达尔文进化论的核心思想——“物竞天择，适者生存”，旨在通过模仿自然界生物种群的演化过程来寻找复杂问题的最佳解决方案。

6.2自然界仿生学基础

遗传算法借鉴了生物学中的几个核心概念：

• 选择 (Selection)：根据个体适应度挑选出更适合生存的对象。
• 交叉 (Crossover)：两个父代个体交换部分基因形成新的后代个体。
• 变异 (Mutation)：随机改变某些基因位上的值以引入多样性。

这些操作共同作用于一组候选解构成的群体之上，逐步引导种群向更好的解靠近。

6.3工作原理详解

遗传算法的工作流程通常遵循以下几个阶段：

1. 初始化种群：创建一定数量的随机初始化个体作为起始点；

2. 计算适应度：依据特定的目标函数评价各个体的表现；

3. 多样性维持：执行选择、交叉以及适当比例下的变异操作生成新一代种群成员；

4. 终止条件判断：当满足预设标准如最大迭代次数或达到满意的解质量时停止循环，否则返回第2步继续优化过程。

此过程中，遗传算法能够有效地探索广阔的解空间而不易陷入局部极值陷阱，并且由于其并行处理多条路径的能力，非常适合用于大规模组合优化等问题求解。

七、遗传算法求解LS-SDMTSP

figure
bar(path_length)
ylabel(‘路径长度’)
set(gca,‘xtick’,1:1:m);
set(gca,‘XTickLabel’,salemans)
title(Name)
figure
semilogy(CurveLine,‘LineWidth’,2);
xlabel(‘迭代次数’)
ylabel(‘总路径长度’)
legend(‘GA’)
title(Name)

%% 显示结果
fprintf(‘数据集：%s\n’,Name)
for j=1:length(saleman_path)
Kd=saleman_path{j};
fprintf(‘算法得到的路径%d:\n’,j)
fprintf(‘具体路径信息：%d’,Kd(1))
for i=2:length(Kd)
fprintf(’ > %d’,Kd(i));
end
fprintf(’ 路径长度%f\n’,path_length(j))

end
fprintf(‘算法求解得到的总路径长度:%f\n’,sum(path_length));

数据集：tsp225
算法得到的路径1:
具体路径信息：69 > 58 > 59 > 2 > 47 > 189 > 205 > 191 > 199 > 133 > 225 > 190 > 207 > 49 > 51 > 57 > 69 路径长度306.000000
算法得到的路径2:
具体路径信息：69 > 224 > 192 > 196 > 193 > 218 > 194 > 195 > 46 > 44 > 45 > 48 > 50 > 52 > 55 > 56 > 69 路径长度435.000000
算法得到的路径3:
具体路径信息：69 > 41 > 42 > 8 > 7 > 5 > 4 > 3 > 1 > 200 > 198 > 197 > 6 > 43 > 53 > 54 > 69 路径长度626.000000
算法得到的路径4:
具体路径信息：69 > 74 > 39 > 38 > 12 > 16 > 17 > 20 > 203 > 19 > 18 > 11 > 10 > 9 > 40 > 70 > 69 路径长度608.000000
算法得到的路径5:
具体路径信息：69 > 72 > 76 > 32 > 36 > 24 > 23 > 22 > 21 > 15 > 14 > 13 > 37 > 31 > 75 > 71 > 69 路径长度559.000000
算法得到的路径6:
具体路径信息：69 > 73 > 35 > 33 > 34 > 208 > 25 > 26 > 204 > 29 > 30 > 202 > 206 > 217 > 219 > 216 > 69 路径长度406.000000
算法得到的路径7:
具体路径信息：69 > 98 > 78 > 77 > 28 > 79 > 80 > 81 > 221 > 95 > 209 > 96 > 97 > 99 > 100 > 69 路径长度381.000000
算法得到的路径8:
具体路径信息：69 > 102 > 101 > 93 > 94 > 83 > 82 > 84 > 85 > 86 > 131 > 210 > 87 > 90 > 92 > 91 > 69 路径长度354.000000
算法得到的路径9:
具体路径信息：69 > 104 > 103 > 89 > 130 > 222 > 211 > 132 > 215 > 134 > 135 > 164 > 129 > 128 > 88 > 220 > 69 路径长度456.000000
算法得到的路径10:
具体路径信息：69 > 166 > 162 > 161 > 138 > 140 > 139 > 137 > 136 > 183 > 163 > 158 > 213 > 165 > 127 > 105 > 69 路径长度525.000000
算法得到的路径11:
具体路径信息：69 > 151 > 154 > 155 > 144 > 143 > 201 > 142 > 141 > 160 > 159 > 157 > 156 > 167 > 126 > 106 > 69 路径长度564.000000
算法得到的路径12:
具体路径信息：69 > 107 > 109 > 125 > 168 > 149 > 148 > 147 > 145 > 146 > 153 > 152 > 150 > 214 > 212 > 108 > 69 路径长度460.000000
算法得到的路径13:
具体路径信息：69 > 67 > 124 > 169 > 170 > 171 > 180 > 179 > 178 > 177 > 176 > 174 > 172 > 123 > 110 > 65 > 69 路径长度556.000000
算法得到的路径14:
具体路径信息：69 > 66 > 64 > 112 > 111 > 121 > 122 > 173 > 181 > 182 > 184 > 120 > 175 > 185 > 113 > 114 > 69 路径长度456.000000
算法得到的路径15:
具体路径信息：69 > 68 > 61 > 60 > 116 > 117 > 27 > 188 > 187 > 118 > 186 > 119 > 115 > 223 > 62 > 63 > 69 路径长度344.000000
算法求解得到的总路径长度:7036.000000

八、完整MATLAB见下方名片