学习笔记：蓝桥杯python基础算法（2-2）（K）——构造*

十三、构造

构造题作为常见题型，要求解题者通过观察问题结构规律，寻找通用方法以应对规模变化。解题时，需从多方面思考，如关注规模增长影响、推广规律、考虑状态转移、识别模式，需要大量练习及留意特殊情况。

构造题具有两大显著特点：一是高自由度，虽构造方式多样且有简易解法，但易致考生思路迷茫；二是形式灵活多样，不存在通用解法与共性思路，对考生观察与归纳能力要求高。

针对构造题，可采用多种解题方法，包括仔细分析题目各要素、尝试特例与极端情况找解法规律、寻找模式规律并推广、逆向构造、用数学归纳法证明、灵活运用多学科知识、反复实践总结经验以及保持耐心与信心。

在应用场景方面，构造题广泛涉及数学、图论、字符串处理、组合排列、游戏策略、逻辑推理、数据结构、动态规划、贪心算法及模拟问题等领域，通过不同场景考查选手能力。

经典例题

（一）

蓝桥小蓝喜欢数学，他特别喜欢做数学题，有一天他遇到了一个有趣的数学题：

x/1​+y/1​+z/1​=N/1​

现在给定一个正整数N，小蓝想知道当x、y、z取何值时，上述等式成立。

请你帮助小蓝找到满足条件的整数x、y、z。

输入：

输入包含一个正整数N（1 ≤ N ≤ 1000）。

输出：

如果存在满足条件的整数x、y、z，则输出一个满足条件的解，以空格分隔。如果有多组解，请输出任意一组即可。

如果不存在满足条件的解，则输出"No Solution"。

样例

• 当N = 1时，选择x = 2, y = 3, z = 6： 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1，满足条件。

• 当N = 2时，选择x = 4, y = 6, z = 12： 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1/2，满足条件。

• 当N = 3时，选择x = 7, y = 10, z = 70： 1/7 + 1/10 + 1/70 = 1/3，满足条件。

• 当N = 4时，选择x = 5, y = 8, z = 40： 1/5 + 1/8 + 1/40 = 1/4，满足条件。

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x/1​+y/1​+z/1​=N/1​​，这个题如果数学题做的多的话，我们能够很快想到：

当N=2​时，1/2=1/4+1/4​，1/4=3/12=1/12+2/12=1/12+1/6​，所以x=4​ y=6​ z=12​

当N=3​时，1/3=1/6+1/6​，1/6=3/18=1/18+2/18=1/18+1/9​，所以x=6​ y=9​ z=18​

这里的答案就跟样例不同了，因为是构造体，答案比较开放，题目的样例是随机出现，一般出题人可能会用一些比较偏的数据误导做题人。

当N=4​时，1/4=1/8+1/8​，1/8=1/12+1/24​，所以x=8​ y=12​ z=24​

显然我们可以推导得到，当N=n​时，x=2n​ y=3n​ z=6n​为原式的一组解。

这个题目可以归类于数学题目，我们只需要构造出一组满足某个式子的解。

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n = int(input())
x = 2 * n
y = 3 * n
z = 6 * n
print(x,y,z)

（二 ）

 【题目描述】数学老师给小明出了一道等差数列求和的题目。但是粗心的小明忘记了一部分的数列，只记得其中N个整数。现在给出这N个整数，小明想知道包含这N个整数的最短的等差数列有几项，请输出这几项。

【输入描述】输入的第一行包含一个整数N。第二行包含N个整数A₁,A₂,…,Aₙ。(注意A₁～Aₙ并不一定是按等差数列中的顺序给出)（对于所有评测用例，2≤N≤100000，0≤Ai≤10⁹。）

【输出描述】输出一个序列表示答案

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所有数字间距离最小的间隔是公差吗？

等差数列的最小间隔（实际上不是公差），例如{2，5，7}，最小的间隔是2，但公差不是2，是1。

这其实一个GCD构造问题，可以通过计算给定数字间的所有间隔的最大公约数（GCD）来确定。把n个数据排序，计算它们的间隔，对所有间隔做GCD，结果为公差。

同时，通过最小值、最大值和公差，可以计算出等差数列的最少数量。

最少数量等于 =（最大值-最小值）/公差+1。

从最小值到最大值依次输出即可。

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import math

n = int(input())
nums = sorted(map(int, input().split()))
diffs = [nums[i + 1] - nums[i] for i in range(n - 1)] # 所有相邻元素的差

# 计算最大公约数
d = diffs[0]
for num in diffs[1:]:
    d = math.gcd(d, num)

mn, mx = nums[0], nums[-1] # 等差数列的最小值和最大值
seq = [mn + i * d for i in range((mx - mn) // d + 1)]
print(' '.join(map(str, seq)))

（三） 

 题目描述: 给定一个正整数N，你需要构造一个包含N个节点的简单连通图。节点编号从1到N。同时，设任意边的两个节点的编号为a,b。a,b需要满足:(a&1)Xor(b&1)=1。每条边的权值为边所连接的两个节点的编号和，使得的最长边和最短边之间的差值小于等于3。

输入描述:

输入包含一个正整数N (2 ≤ N ≤ 1000)。

输出描述:

先输出一个M表示总共M条连边。

然后输出包含M行，每行包含两个整数，表示图中一条边的两个节点编号。

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我们先剖析一下含义： (a&1)Xor(b&1)=1

a&1判断最后一个二进制位是不是1，如果为1则为1，如果为0则为0。 显然为0时为偶数，为1时为奇数。

两个数的奇偶性做亦或等于1，那么也就是说a和b不能同时为奇数或者同时为偶数。 即a和b一个为奇数另一个为偶数。

回归题目也就是说一条边两个节点的需要一个为偶数一个为奇数。

每条边的权值为边所连接的两个节点的编号和，使得的最长边和最短边之间的差值小于等于3。

这里就比较开放了，连边的方式有很多种，既然是小于等于某个数，那我们让他们最小就好了，或者说不连最小了，没有边按目前的信息是符合题意。

显然出题人早就想到了这一点，不会让我们偷懒钻空子。你需要构造一个包含N个节点的简单连通图。

我们虽然不能一个边不连，但是最少的连通图，我们知道是树，最少连N-1边，遵循着少连接少出错的原则，我们就构建一个树即可。

结论是构建一个棵只由奇偶连边的树，使得最长边和最短边的权值不超过3。

既然不让超过3，我们使得连边的权值最小即可，因为最小肯定符合题意（如果有的话），因为最小不符合题意，那么此题无解，因为求的是不超过3。最小超过了3那其他的肯定超过3。

最小的话就是，让最大值最小，让最小值最大。

假设N为偶数的话，那就1连N，3连N-2...此时所有边的值都是N+1。

如果N为奇数怎么办？那就是在添加一个N+1的节点呗。直接挂到1上即可，如果求最优解的话其实是这样一个结构。

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奇数情况下不输出划圈的连线

def print_graph_connections(n):
    print(n-1)
    if n % 2 == 0:  # 偶
        for i in range(1, n + 1, 2):
            print(i, n - i + 1)
        for i in range(1, n - 1, 2):
            print(i, n - i - 1)
    else:  # 奇
        for i in range(3, n + 1, 2):    # 跳过最大点
            print(i, n - i + 2)
        for i in range(1, n - 1, 2):
            print(i, n - i)

n = int(input("请输入节点数n: "))
print_graph_connections(n)

（四） 

给定一个正整数n（n>0）。找到任何一个满足以下条件的整数s，或者报告没有这样的数字：

在s的十进制表示中：

• s>0

• s由n位数字组成

• s中没有任何数字等于0

• s不能被它的任何一个数字整除

输入包含多个测试用例。 输入的第一行包含一个整数t（1≤t≤400），表示测试用例的数量。 接下来的t行描述了每个测试用例。 每个测试用例包含一个正整数n（1≤n≤10^5）。 保证所有测试用例中n的总和不超过10^5。

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1. 首先，我们将最后一位数字设置为3。

2. 然后，我们将前面的位数都设置为2，这样可以确保数不会被最后一位的3整除，由于最后一位是3不是偶数所以也没办法被2整除。

3. 接着，我们检查前面的位数，如果前面的位数的数量是3的倍数(一个简单的知识如果个位数的和能够被3整除那么这个数也能被3整除)，此时那么我们可以将第一位的2替换为一个素数（比如5或7），这样就可以确保数不会被整除，同时也满足了题目的条件

t = int(input())
for _ in range(t):
    n = int(input())
    if n == 1:
        print(-1)
    else:
        s = '2' * (n - 1) + '3'
        if (n - 1) % 3 == 0:
            s = '5' + s[1:]
        print(s)