洛谷P1719 最大加权矩形

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题目难度:普及一

最大加权矩形

题目描述

为了更好的备战 NOIP2013，电脑组的几个女孩子 LYQ,ZSC,ZHQ 认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。

校长先给他们一个 $n\times n$ 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩阵的每个元素属于 $[-127,127]$ ,例如

 0 –2 –7  0 
 9  2 –6  2
-4  1 –4  1 
-1  8  0 –2

在左下角：

9  2
-4  1
-1  8

和为 $15$。

几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的 HZH，TZY 小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

输入格式

第一行：$n$，接下来是 $n$ 行 $n$ 列的矩阵。

输出格式

最大矩形（子矩阵）的和。

样例 #1

样例输入 #1

4
0 -2 -7 0
 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 
-1 8  0 -2

样例输出 #1

15

提示

$1\le n\le 120$

题目分析: 本题用到了二维前缀和, 二维前缀和公式为s[i][j]=s[i−1][j]+s[i][j−1]−s[i−1][j−1]+a[i][j],其中数组a[N][N]存储输入的矩阵。s[N][N]存储二维前缀和,之和求子矩阵最大和用x1,x2,y1,y2遍历求对于每个子矩阵 (x1,y1) 到 (x2,y2)，其元素和为：sum=s[x2][y2]−s[x1−1][y2]−s[x2][y1−1]+s[x1−1][y1−1],用到了四重循环时间复杂度为O(n^4)

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 125;

int s[N][N],a[N][N];
int n,m;


ll read()
{
	ll s=0,f=1;
	char ch=getchar();
	
	while (ch<'0'||ch>'9')
	{
   	   if (ch=='-') f=-1;
	   ch=getchar();
	}
	while (ch>='0'&&ch<='9')
	{
	   s=s*10+ch-'0';
	   ch=getchar();
	}
	return s*f;
}

int main() {
   
    n = read();
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
       for(int j = 1; j <= n; j++)
       {
       	a[i][j] = read();
       	s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
	   }
	     	
   int maxn = -9999999;
  
    for (int x1 = 1; x1 <= n; x1++) {
        for (int y1 = 1; y1 <= n; y1++) {
            for (int x2 = x1; x2 <= n; x2++) {
                for (int y2 = y1; y2 <= n; y2++) {
                    int sum = s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1];
                    maxn = max(maxn, sum);
                }
            }
        }
    }
    
	cout<<maxn;
	       
    return 0;
}