CodeTON Round 9 (Div. 1 + Div. 2) C1C2解题

C1

题意

给定两个整数$x,m$，求$y$的个数。$y$满足$1\le y\le m,x\ne y$, $x\oplus y$是x或y的因数。

思路

先说结论：

设 $c=x\oplus y$
则 $1\le y\le m,y\le 2x,c\le \frac{y}{2}\le x$
由于 $x,m$大小关系不确定，因此$1\le c\le min(x,m)$
遍历c逐个判断即可。

证明:

设 $c=x\oplus y$，答案即为求满足$c$是x或y的因数的 $c$的个数。

• 如果$p$是$q$的因数，且$p\ne q$，则 $p\le \frac{q}{2}$
  $x\ne y$，则$c\ne 0$
  $y\ne 0$， 则$c\ne x$
  因此 $c\le \frac{x}{2}$ 或 $c\le \frac{y}{2}$
• 如果x与y的最高位不一样（可以取$y\ge 2x$），则$x\oplus y$的二进制最高位是1，$x\oplus y$不可能是x或y的因数。 因此$y\le 2x$。
  例如：

110010110
011011110

则 $1\le y\le m,y\le 2x,c\le \frac{y}{2}\le x$
由于 $x,m$大小关系不确定，因此$1\le c\le min(x,m)$

解题

#include   
  
using namespace std;  
typedef long long ll;  
#define FKCF ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);  
#define dbg(x) cout<<"[debug] "<<#x<<" = "<<x<<endl;  
// ============ BEGIN ============ //  
  
inline void solve(){  
    ll x, m;  
    int cnt=0;  
    cin >> x >> m;  
    // 设 c = x ^ y    
    for (int c = 1ll; c <= (int)min(x, m); ++c) {  
        ll y = c ^ x;  
        if ((!(x % c) || !(y % c)) && x != y && y && y <= m) ++cnt;  
  
    }  
    cout << cnt << endl;  
}  
  
int main() {  
    FKCF  
    int t;  
    cin >> t;  
  
    while (t--) {  
        solve();  
    }  
    return 0;  
}

C2

题意：

给定两个整数$x,m$，求$y$的个数。$y$满足$1\le y\le m$，$x\oplus y$是$x$或$y$的因数（包括0）。

思路：

设$c=x\oplus y$
和上一题一样，以计数c代替计数y。

1. 求c是x的因数 的个数
设p是c满足y范围内能取到的最后一个c。即$p=m-m\%x$
$ans=\frac{p}{x}$

  ll p = m - m % x;
  ll ans = p / x - (x < p); // c=x无法取到，c=0必取到
  // y = x ^ p
  // 考虑c能否取到p
  if ((x ^ p) >= 1 and (x ^ p) <= m) ++ans;
  p += x;
  // 考虑c能否取到p+x
  if ((x ^ p) >= 1 and (x ^ p) <= m) ++ans;

2. 求c是y的因数 的个数
当$y>x$，$c$不再可能是y的因数。原因见上一题。

for (int y = 1; y <= min(1LL * x, m); y++) {  
    ll c = x ^ y;  
    if (c % y == 0) {  
        ++ans;  
    }  
}

3. 求c是x,y的因数 的个数
需使$c=lcm(x,y)$
取$y=x$，即$c=0$

if (x <= m) {  
    --ans;  
}

解题

#include   
  
using namespace std;  
typedef long long ll;  
#define CF ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);  
#define dbg(x) cout<<"[debug] "<<#x<<" = "<<x<<endl;  
// ============ BEGIN ============ //  
  
void solve() {  
    int x; ll m; cin >> x >> m;  
  
    // divisible by x  
    ll p = m - m % x;  
    ll ans = p / x - (x < p);  
    if ((x ^ p) >= 1 and (x ^ p) <= m) ++ans;  
    p += x;  
    if ((x ^ p) >= 1 and (x ^ p) <= m) ++ans;  
  
    // divisibly by y  
    for (int y = 1; y <= min(1LL * x, m); y++) {  
        ll cur = x ^ y;  
        if (cur % y == 0) {  
            ++ans;  
        }  
    }  
  
    // divisible by both  
    if (x <= m) {  
        --ans;  
    }  
  
    cout << ans << '\n';  
}  
  
int32_t main() {  
    CF  
    int t = 1;  
    cin >> t;  
    while (t--) solve();  
      
    return 0;  
}