算法基础 -- AVL树初识

AVL树初识

一、AVL树简介

AVL树是一种自平衡二叉搜索树（Binary Search Tree, BST），于1962年由Georgy Adelson-Velsky和Evgenii Landis提出，名字也来自他们两位的姓氏首字母组合。它通过在插入、删除节点后维持平衡性，确保在查找、插入、删除操作上保持 $O(\log n)$ 的平均和最坏时间复杂度。

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二、AVL树的平衡条件

在普通的二叉搜索树中，树的高度可能因为插入或删除导致严重失衡，从而退化成链表。而AVL树通过维护**平衡因子（Balance Factor）**来保持平衡。

平衡因子的定义：

$$\text{平衡因子}=\text{左子树的高度}-\text{右子树的高度}$$

• 平衡因子的绝对值不超过1（即 $-1$、0、1），则该节点视为平衡。
• AVL树要求所有节点的平衡因子绝对值 $\le 1$。

通过对节点的平衡因子进行检查和旋转操作，AVL树能始终维持其平衡性。

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三、AVL树的基本操作

1. 查找（Search）

AVL树本质上是二叉搜索树，查找过程与普通二叉搜索树相同，时间复杂度为 $O(\log n)$。

2. 插入（Insert）

插入新节点的过程包括以下步骤：

1. 常规插入： 按照二叉搜索树的规则插入新节点。
2. 更新平衡因子： 从插入位置向上回溯，更新祖先节点的高度或平衡因子。
3. 检测并恢复平衡： 如果某节点的平衡因子绝对值超过1，根据具体情况执行旋转操作。

插入导致的失衡类型

类型	条件	解决方法
LL失衡	节点的平衡因子为 +2，且左子节点的平衡因子 $\ge 0$	单右旋
LR失衡	节点的平衡因子为 +2，且左子节点的平衡因子 $<0$	先左旋后右旋
RR失衡	节点的平衡因子为 -2，且右子节点的平衡因子 $\le 0$	单左旋
RL失衡	节点的平衡因子为 -2，且右子节点的平衡因子 $>0$	先右旋后左旋

3. 删除（Delete）

删除操作分以下几种情况：

1. 删除叶子节点或单子节点：

   • 直接删除节点或用子节点替换。

2. 删除有两个子节点的节点：

   • 找出该节点的前驱或后继节点，用其值覆盖当前节点，并递归删除前驱/后继节点。

3. 更新并恢复平衡：

   • 从被删除节点的位置向上回溯，更新祖先节点的平衡因子，若失衡则执行旋转操作。

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四、旋转操作

AVL树通过旋转操作调整树的结构，从而恢复平衡。旋转分为以下四种：

1. 单右旋（LL失衡）

• 触发条件：节点的平衡因子为 +2，且左子节点的平衡因子 $\ge 0$。
• 示例：

        A                          B
       / \                        / \
      B   α     => 右旋         C   A
     / \                        /   / \
    C   β                      γ   β   α

2. 先左旋后右旋（LR失衡）

• 触发条件：节点的平衡因子为 +2，且左子节点的平衡因子 $<0$。
• 示例：

        A                          A                          C
       / \        => 左旋         / \        => 右旋         / \
      B   α       B   α          C   A
       \          / \               / \
        C        B   γ             β   α
       / \       / \  
      β   γ     β   γ  

3. 单左旋（RR失衡）

• 触发条件：节点的平衡因子为 -2，且右子节点的平衡因子 $\le 0$。
• 示例：

        A                          B
       / \                        / \
      α   B     => 左旋         A   C
         / \                    / \
        β   C                  α   β

4. 先右旋后左旋（RL失衡）

• 触发条件：节点的平衡因子为 -2，且右子节点的平衡因子 $>0$。
• 示例：

        A                          A                          C
       / \        => 右旋         / \        => 左旋         / \
      α   B       α   C          A   B
         / \         \            / \
        C   γ         B          α   β
       / \          / \
      β   γ        β   γ

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五、时间复杂度与特性

• 高度： AVL树的高度保持在 $O(\log n)$ 量级，最坏情况下的高度为 ${\log }_{\varphi }(n)$（$\varphi$ 为黄金比例，约为1.618）。
• 查找： 时间复杂度为 $O(\log n)$。
• 插入/删除： 时间复杂度为 $O(\log n)$。
• 额外空间： 需要维护每个节点的高度或平衡因子信息。

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六、AVL树优缺点

优点：

1. 查找性能优秀，适用于查找频繁的场景。
2. 平衡性好，树的高度始终接近最优。

缺点：

1. 插入和删除操作需要额外的旋转和更新，性能开销相对红黑树更高。
2. 实现复杂，逻辑较为繁琐。

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七、示例

以下为插入数据的过程示例：

插入数据：10, 20, 5, 15, 25, 30

1. 插入10：

   10

2. 插入20：

   10
     \
      20

3. 插入5：

     10
    /  \
   5    20

4. 插入15：

     10
    /  \
   5    20
        /
       15

5. 插入25：

     10
    /  \
   5    20
        /  \
       15   25

6. 插入30，触发RR失衡，左旋后结果：

        20
       /  \
     10    25
    /  \      \
   5   15      30

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八、总结

AVL树是一种高效的自平衡二叉搜索树，适用于对查找效率要求较高的场景，但在插入删除频繁的情况下，其复杂度和性能可能略逊于红黑树。