【矩阵二分】力扣378. 有序矩阵中第 K 小的元素

给你一个 n x n 矩阵 matrix ，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素。
请注意，它是 排序后 的第 k 小元素，而不是第 k 个 不同 的元素。

你必须找到一个内存复杂度优于 O(n2) 的解决方案。

示例 1：
输入：matrix = [[1,5,9],[10,11,13],[12,13,15]], k = 8
输出：13
解释：矩阵中的元素为 [1,5,9,10,11,12,13,13,15]，第 8 小元素是 13

示例 2：
输入：matrix = [[-5]], k = 1
输出：-5

二分

class Solution {
public:
    bool check(vector<vector<int>>& matrix, int mid, int k, int n){
        int i = n - 1;
        int j = 0;
        int num = 0;
        while(i >= 0 && j < n){
            if(matrix[i][j] <= mid){
                num += i + 1;
                j++;
            }
            else{
                i--;
            }
        }
        return k <= num;
    }


    int kthSmallest(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
        int n = matrix.size();
        int left = matrix[0][0];
        int right = matrix[n-1][n-1];
        while(left < right){
            int mid = (left + right) >> 1;
            if(check(matrix, mid, k, n)){
                right = mid;
            }
            else{
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }
};

时间复杂度：O(nlog(r−l))，二分查找进行次数为 O(log(r−l))，每次操作时间复杂度为 O(n)。
空间复杂度：O(1)。

矩阵中最小的元素是matrix[0][0]，最大的元素是matrix[n-1][n-1]，这道题使用二分查找的思想就是我们从最小数到最大数之间任意挑一个数字作为mid。假设mid = 8，根据图片，矩阵可以分成两个部分，一个部分全部小于等于8，另外一个部分全部大于8。我们可以统计左上部分小于等于8的数的数量，看8在排序后是第几小的数（因为图片有多个8，所以返回的是8是第几小的数的最大情况，即升序排列中最右边的8的位置）。

所以在二分查找中，我们从取left + right除以2的值为mid，如果在check函数中得出来左上部分的数量大于等于我们所期待的k，那么就说明我们的取的mid大于等于实际元素，这时候我们就将right = mid，缩小他的上界。如果左上部分数量小于我们所期待的k，说明我们取的mid比实际元素要小，我们令left = mid + 1，增加他的下界。

很多人会疑问left怎么确保一定是矩阵中的数？

如题解中所说，如果 num >= k，那么说明最终答案 x <= mid；如果 num < k，那么说明最终答案 x > mid。 在最后一次迭代时，check返回的结果为false，即 num < k，说明 x > mid，又因为 x <= right。当 left = mid + 1 后，left >= righ，while循环结束。此时有 mid < x <= right <= left = mid + 1，即 mid < x <= mid + 1。可得 x = mid + 1 = left。