数论问题65一一整数的乘法分拆

整数的乘法分拆实质就是整数的乘法因子数分解。如18=2x9=6x3=2x3x3。

整数的乘法分拆与加法分拆有密切的关联，最终用加法分拆来表示。如，a为质数，a^n的乘法分拆就是指数n的加法分拆。

整数的乘法分拆相当复杂，如果弄不懂乘法分拆的实质，那么，进行乘法分拆会相当困难。

首先，对于一个正整数n要进行质因数幂分解，如18=2x3^2。

其次，设定抽屉，然后给抽屉中放置元素，分类进行。

用f（n）表示对正整数n的所有不同因子分解的方法总数，如f（18）=4，用p(n)表示对n加法分拆总数。乘法分拆中不考虑因子的顺序，即a×b与b×a计为一种。乘法因子分解看似没有规律性，当我们使用分类方法后，规律性就呈现了。从特例开始，理解这种方法。

 

如54。54=3^3×2。把2看成抽屉，把3个3逐一放入抽屉中，记数是未放入抽屉和放入抽屉的数的乘法分拆总数。给抽屉2中未放入3记数为

f（3^3），放入一个3记数为

f（3^2），放入二个3记数为

f（3^1），放入三个3（全部）记数为f（3^0），所以

f（54）

=f（3^3）+f（3^2）+f（3）+f（0）=3+2+1+1=7。分拆过程是：2×27=2×3x9=2×3x3×3（未放入情况）=6×9=6×3×3（放入一个3）=18×3（放入二个3）=54（放入三个3），共7种方法。

 

一般的，f（a^n×b）=f（a^n）+f（a^n-1）+…+f（a^2）+f（a）+f（a^0）=∑f（a^n-i），其中a，b均为素数，i=0，1，2，…，n。∑为加法和号。乘法因子分拆，先把一个正整数化为底数为素数的幂指数形式。

 

上式中出现f（a^n）的值的计算问题，发现

 

公式1：f（a^n）=P（n），其中a为素数。

 

因为a^n乘法分拆个数就是n的加法分拆个数，与a为何值无关，P（n）表示n的加法分拆总个数，如5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1，a^5=a^4×a=a^3×a^2…=a×a×a×a×a，f（a^5）=P（5）=7。

 

明白了乘法分拆旳抽屉方法，就理清了我们处理乘法分拆的思路，可以把问题推广到复杂的情况。如，计算

f（a^n×b^2）。

 

由于b^2=b×b。把b^2和b看成一个抽屉，把b×b看成两个抽屉，把n个a分别放入抽屉中，计数是未放入的几个a的乘法分拆。由于b×b两个抽屉都是一样的，只给一个抽屉中放a，另一个不放a。分类：一个抽屉有二个，二个抽屉有一个。所以，把n个a放入两个抽屉b^2和b中，计数共有2∑f（a^n-t）个，其中0≤t≤n。把n个a放入b×b两个抽屉中，两个抽屉不能为空，所以放置方法有∑∑f（a^n-2k-i），k的意义是给抽屉b×b各放1，2，…，k个a，然后是未放置n-2k-i个a的进行计然后是未放置n-2k-i个a的进行计数，i≥0，K≥1。所以有双重和号：∑∑f（a^n-2K-i）=∑f（a^n-2-i）+∑f（a^n-4-i）+∑f（a^n-6-i）+…。

 

综上，有

 

公式2：f（a^nxb^2）=2∑f（a^n-i）+∑∑f（a^n-2k-i），其中i≥0，K≥1，n-i≥0，n-2k-i≥0。

 

意义：2∑f（a^n-i）是两种b^2和b×b的一个抽屉放法，；∑∑f（a^n-2k-i）表两个抽屉b×b的放法，k≥1表给两个抽屉同时放a，不为空。注意：n-i或n-2k-i不能为负数，为负数时就终止运算。

 

例，72=8×9=2^3×3^2

以3^2=3×3为抽屉，把3个2放置（注意：把次数少的幂做为抽屉）。详细做法是：把3个2放入9=3×3的9中，0放入为9×8=9×2×4=9×2×2×2，放入1个2为18×4=18×2x2，放入2个2为36×2，放入三个2为72，共7种；同样把三个2放入3的一个抽屉中，另一个3为空，也是7种；最后把三个2放入3×3两个抽屉中，不能有一个为空，放法：放入6×6×2=6×12共2种。所以f（72）=16。

 

用公式2计算：f（a^3×b^2）=2∑f（a^3-i）+∑∑f（a^3-2K-i）

 

=2[f（a^3）+f（a^2）+f（a^1）+f（a^0）]+∑f（a^3-2-i）=2（3+2+1+1）+f（a^3-2）+f（a^3-2-1）=2（3+2+1+1）+1+1=16。

 

注意∑∑f（a^n-2k-i）的计算，最好从k开始，k=1，∑f（a^n-2-i），K=2，∑f（n-4-i），…。

 

充分理解了上面的方法后，计算f（a^n×b^3）就容易了。b^3做为抽屉。有

 

公式3：f（a^n×b^3）=3f（a^n）+4∑f（a^n-k）+2∑f（a^n-2K）+3∑∑f（a^n-2k-i）+∑f（a^n-3K）+∑∑f（a^n-3K-i）+∑∑f（a^n-3K-2t）+∑∑∑f（a^n-3K-2t-i），其中k≥1，t≥1，i≥1，所有幂指数不能为负。

证明：因为b^3=b×b^2=b×b×b。

 

把b做抽屉，不放入a就是数（a^n×b^3）中没有分解出因子（ab）。未放入a的计数有3f（a^n）。一个抽屉有四：b^3，b×b^2中的二个b和b^2，b×b×b中一个b。四个的一个抽屉放置a的计数有4∑f（a^n-i），1≤i≤n，i≥1表抽屉不能为空。二个抽屉有二：bxb和b×b^2，两个抽屉放置a的个数都相同的总计数为2∑f（a^n-2k），1≤k≤[k/2]；给b×b和b×b^2放置a的个数不相同的总计数为3∑∑f（a^n-2k-i），k≥1，i≥1。三个抽屉：三个抽屉放置a的个数都相同的计数为∑f（a^n-3K）；三个抽屉二个放置a相同，另一个不相同（比二个抽屉多）的计数为∑∑f（a^n-3K-i）；三个抽屉二个放置a相同，另一个不相同（比二个抽屉少）的计数为∑∑f（a^n-3K-2t）；三个抽屉放置a的个数都不同为∑∑∑f（a^n-3k-2t-i），其中i，t，k都是大于0的整数。（证毕）

读者如有兴趣，可给出f（a^n×b^4）（n≥4）等诸多的公式。

 

求一个整数的乘法分解因子个数本身就是一种数数的问题，如何数清楚？不重复不遗露，就需要技巧了。用抽屉的方法就巧妙的解决了乘法因子分解的难题，它对我们学习数学有很好的启示性。

 

参考文献：李扩继，整数分拆的递推关系式，中国初等数学研究，主编杨学枝，No.6.2015。