VMD（变分模态分解）详解

VMD（变分模态分解）详解

目录

1. 前言
2. 背景及发展
3. VMD 原理与数学基础
   1. 问题的提出
   2. 变分框架与能量最小化
   3. 中心频率与带宽定义
   4. 目标函数及约束
   5. 拉格朗日乘子法
   6. 频域迭代更新公式
4. VMD 与 EMD/EEMD/CEEMDAN 等方法比较
5. VMD 算法流程
6. 主要参数的选择与影响
7. 优点与不足
8. 实际应用中需要注意的问题
9. 示例代码
10. 代码简要解读
11. 参考资料

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前言

在信号处理、时频分析、故障诊断等诸多领域，如何将一个复杂信号进行多分量分解，进而提取到其中所包含的不同频率成分，一直是重要且基础的研究方向。传统上，经验模态分解 (EMD) 及其改进方法（如 EEMD、CEEMDAN）在非线性、非平稳信号分析中有非常广泛的应用。然而它们也存在一些模态混叠、端点效应、算法鲁棒性较弱等不足。

变分模态分解（Variational Mode Decomposition，简称 VMD） 是 2014 年由 Dragomiretskiy 和 Zosso 提出的一种新的信号分解方法。与 EMD 系列不同，VMD 不再利用局部极值点和包络来进行筛选，而是直接在频域中引入带宽约束，通过变分优化的方式，对信号进行稳健且自适应的模态分解。相较于传统方法，VMD 更加稳定、参数可控且能够有效抑制模态混叠。它已被应用于机械故障诊断、经济时间序列分析、生物医学信号处理等领域。

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背景及发展

• EMD：由 Norden E. Huang 等人于 1998 年提出，原理直观，适合处理时变频率的非平稳信号。但 EMD 容易受到噪声影响，也常出现模态混叠（不同本征模态函数 “IMF” 混在一起，难以区分）的情况。
• EEMD (Ensemble EMD)：通过在 EMD 分解前多次加入白噪声，以抵消部分随机性，改善了模态混叠；但计算量大，且分解结果稳定性依赖噪声注入水平。
• CEEMDAN：在 EEMD 基础上进一步改进，试图在每次分解后对噪声进行校正，但仍然是基于 EMD 的局部极值概念。
• VMD：通过建立变分形式的能量最小化问题，直接在频域约束各模态的带宽，避免了依赖极值点筛选。从而在许多情况下分解结果更平滑、更具可解释性。

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VMD 原理与数学基础

1. 问题的提出

我们希望将一个给定的信号 $f(t)$ 分解为若干个模态函数：
$$u_k(t),k=1,2,\dots ,K,$$
其中 $K$ 是我们预先设定或估计的模态数量。每个模态 $u_k(t)$ 在频域上近似集中在一个中心频率 ${\omega }_k$ 附近，即这个模态“带宽”较小。最终，这些模态函数之和应能重构原信号：
$$f(t)\approx \sum _{k=1}^K{u}_k(t).$$
VMD 的思路是：在保证各模态之和逼近 $f(t)$ 的同时，要求各模态在其中心频率附近的带宽之和最小。这可以视为一个优化问题，通过变分法加以求解。

2. 变分框架与能量最小化

在变分模态分解里，我们把“带宽”刻画成模态信号的希尔伯特变换后移到基带的能量大小。设一个模态 $u_k(t)$ 的解析信号为：
$$u_k(t)+j\mathcal{H}\{u_k(t)\},$$
其中 $\mathcal{H}${·} 表示希尔伯特变换。再通过乘以 $e^{-j{\omega }_{k}t}$ 将该模态搬移到基带。如果此时模态在频域集中，则其在基带附近呈现较少的高频分量，故称之为“带宽有限”。

3. 中心频率与带宽定义

对于第 $k$ 个模态，假设它的中心频率为 ${\omega }_k$。在频域上，如果 $U_k(\omega )$ 表示 $u_k(t)$ 的傅里叶变换，那么我们期望在 $\omega \approx {\omega }_k$ 附近有主要能量。
以 Dragomiretskiy 等人的定义，衡量带宽可写成：
∥ ∂ t [ ( u k ( t ) + j H ( u k ( t ) ) ) e − j ω k t ] ∥ 2 2 , \left\| \partial_t \left[ \left(u_k(t) + j \mathcal{H}(u_k(t))\right) e^{-j \omega_k t}\right]\right\|_2^2, ​∂t​[(uk​(t)+jH(uk​(t)))e−jωk​t] ​22​,
即看其瞬时能量在多大程度上延伸到高频，通过对该量求和并最小化，就能让各模态聚拢在各自的中心频率附近。

4. 目标函数及约束

令
$$\{{\omega }_k{\}}_{k=1}^K\text{为所有模态的中心频率集合},$$
$$\{u_k(t){\}}_{k=1}^K\text{为所有模态函数集合}.$$
VMD 要最小化的目标函数可以写成：
min ⁡ { u k } , { ω k } ∑ k = 1 K ∥ ∂ t [ ( δ ( t ) + 1 π t ) ∗ u k ( t ) ] e − j ω k t ∥ 2 2 , \min_{\{u_k\}, \{\omega_k\}} \sum_{k=1}^K \left\| \partial_t \left[ \left( \delta(t) + \frac{1}{\pi t}\right)* u_k(t)\right] e^{- j \omega_k t}\right\|_2^2, {uk​},{ωk​}min​k=1∑K​ ​∂t​[(δ(t)+πt1​)∗uk​(t)]e−jωk​t ​22​,
同时满足约束：
$$\sum _{k=1}^K{u}_k(t)=f(t).$$

此处 $\left(\delta (t)+\frac{1}{\pi t}\right)\ast u_k(t)$ 本质上是对 $u_k(t)$ 进行希尔伯特变换（在实际实现中往往直接在频域上操作）。

5. 拉格朗日乘子法

为处理约束 ${\sum }_k{u}_k=f(t)$，定义拉格朗日函数：
L ( { u k } , { ω k } , λ ) = ∑ k = 1 K ∥ ∂ t [ ( δ ( t ) + 1 π t ) ∗ u k ( t ) ] e − j ω k t ∥ 2 2 + λ ( t ) ( f ( t ) − ∑ k = 1 K u k ( t ) ) , \mathcal{L}\big(\{u_k\}, \{\omega_k\}, \lambda\big) = \sum_{k=1}^K \left\| \partial_t \left[\left(\delta(t)+\frac{1}{\pi t}\right)* u_k(t)\right] e^{-j \omega_k t} \right\|_2^2 + \lambda(t) \left(f(t) - \sum_{k=1}^K u_k(t)\right), L({uk​},{ωk​},λ)=k=1∑K​ ​∂t​[(δ(t)+πt1​)∗uk​(t)]e−jωk​t ​22​+λ(t)(f(t)−k=1∑K​uk​(t)),
在某些参考文献中也会引入一个因子 $\alpha$ 来调整对带宽的惩罚强度，以及在误差项或约束项里加入二范数，这些细节略有不同，但思路一致：通过不断更新 $u_k(t)$、${\omega }_k$ 与 $\lambda (t)$ 来迭代逼近最优解。

6. 频域迭代更新公式

在具体实现时，常先对所有量进行傅里叶变换。记 ${\hat{u}}_k(\omega )$ 表示 $u_k(t)$ 的频域表示，$\hat{f}(\omega )$ 表示原信号 $f(t)$ 在频域的表示。而拉格朗日乘子 $\hat{\lambda }(\omega )$ 则与约束对应。

在每一步迭代中，对第 $k$ 个模态，我们先假设其他模态均已知并固定，然后在频域中更新 ${\hat{u}}_k(\omega )$：
$${\hat{u}}_k^{n+1}(\omega )=\frac{\hat{f}(\omega )-{\sum }_{i\ne k}{\hat{u}}_i^n(\omega )+\frac{1}{2}{\hat{\lambda }}^n(\omega )}{1+2\alpha (\omega -{\omega }_k^n{)}^2},$$
其中 $\alpha$ 为惩罚项系数。更新完 ${\hat{u}}_k$ 后，再计算新的中心频率：
ω k n + 1 = ∫ 0 ∞ ω ∣ u ^ k n + 1 ( ω ) ∣ 2 d ω ∫ 0 ∞ ∣ u ^ k n + 1 ( ω ) ∣ 2 d ω . \omega_k^{n+1} = \frac{\int_0^\infty \omega \left|\hat{u}_k^{n+1}(\omega)\right|^2 d\omega}{\int_0^\infty \left|\hat{u}_k^{n+1}(\omega)\right|^2 d\omega}. ωkn+1​=∫0∞​ ​u^kn+1​(ω) ​2dω∫0∞​ω ​u^kn+1​(ω) ​2dω​.
最后更新拉格朗日乘子：
$${\hat{\lambda }}^{n+1}(\omega )={\hat{\lambda }}^n(\omega )+\tau (\hat{f}(\omega )-\sum _{k=1}^K{\hat{u}}_k^{n+1}(\omega )),$$
其中 $\tau$ 是步长，用来控制更新速度。

通过反复交替更新每个模态及其中心频率，直至收敛或达到迭代上限，我们就能获得每一个 $u_k$（再逆傅里叶变换回到时域）。这套迭代在 Dragomiretskiy 和 Zosso 的原始论文里已给出比较详尽的数学推导和收敛性讨论。

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VMD 与 EMD/EEMD/CEEMDAN 等方法比较

1. 分解机制

   • EMD/EEMD/CEEMDAN：依赖信号局部极值点及包络估计来提取 IMF；具有自适应性，但容易出现模态混叠、端点效应以及对噪声敏感等问题。
   • VMD：将分解问题转化为一个频域带宽最小化的变分优化，天然具有频谱聚集的特性。

2. 可控性与稳定性

   • EMD 系列：无需预先设定模态数，会自动分解出多层 IMF；但不同数据、不同参数（如插值方法、噪声水平）会导致差异。
   • VMD：需要指定模态数量 $K$，但分解更可控；迭代过程在多数情况下表现出较好的稳定性，对噪声具备相对更强的鲁棒性。

3. 计算复杂度

   • EMD：主要开销在逐点寻峰、构造包络等，迭代次数不定；对于长信号或高采样率信号，也会比较耗时。
   • VMD：每一步迭代都要进行 FFT、逆 FFT 等频域操作，对大型数据也有开销，不过可以依靠 FFT 的高效并行来加速。

4. 模态混叠

   • 传统 EMD：易出现同一 IMF 中混入其他频段成分。
   • VMD：通过中心频率与带宽约束，更易分离不同频段成分，减少混叠。

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VMD 算法流程

简化后的主要流程可以概括为：

1. 初始化：设定模态数 $K$；初始化 ${\hat{u}}_k$（可为零或随机），初始化各中心频率 ${\omega }_k$（如可从频谱中取 K 个峰作为初值），初始化拉格朗日乘子 $\hat{\lambda }$。
2. 迭代过程：
   1. 在频域中，固定其他模态与${\omega }_i$，更新第 $k$ 个模态 ${\hat{u}}_k$。
   2. 根据更新后的 ${\hat{u}}_k$ 重新计算其中心频率 ${\omega }_k$。
   3. 更新拉格朗日乘子 $\hat{\lambda }$。
   4. 判断收敛条件（如两次迭代后模态或中心频率的变化量是否小于阈值），若满足则结束，否则继续迭代。
3. 逆傅里叶变换：将最终得到的 ${\hat{u}}_k(\omega )$ 变换回时域，得到各模态分量 $u_k(t)$。
4. 重构检查：可验证 ${\sum }_k{u}_k(t)$ 是否逼近原信号 $f(t)$ 或是否满足误差要求。

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主要参数的选择与影响

1. 模态数量 $K$
   • 必须手动指定或通过一些经验准则选取。若 $K$ 过小，无法充分分解出不同成分；若 $K$ 过大，可能产生过分解或引入不必要的“伪模态”。
2. $\alpha$ 惩罚系数
   • 控制带宽压缩程度。数值越大，越强调模态的带宽要更小，导致模态更平滑，但也可能对高频信息产生过度抑制；若 $\alpha$ 太小，模态带宽约束变弱，容易导致分解结果震荡且不稳定。
3. 初始中心频率 ${\omega }_k$
   • 若对信号有先验知识（如知道大约存在哪些频率成分），可选择更合理的初值，有助于更快收敛且避免局部极小。若不了解，可随机或均匀设置在 0 ~ (Nyquist 频率) 范围。
4. 容差 $\text{tol}$ 和最大迭代次数
   • 用于设置收敛精度和运算时间上限。
5. 拉格朗日乘子更新步长 $\tau$
   • 影响乘子更新速度；选值过大或过小会影响收敛速度。

如何选参常常需要结合经验或进行少量试验。对于不同的信号，$\alpha$ 等最佳值会存在差异。

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优点与不足

优点

1. 抗模态混叠：频域带宽控制能更好地把信号不同频率成分分离开来。
2. 稳定性强：基于迭代收敛，结果在一定范围内比较可重复。
3. 可控性高：可根据需要指定模态数、设置相应惩罚项。
4. 适用非平稳信号：和 EMD 一样能处理非线性、非平稳信号，更适合复杂时变过程。

不足

1. 需要先定 $K$：实际中可能并不知道信号包含多少固有模态，需要结合频谱分析或经验来决定。
2. 计算量：每次迭代涉及多次 FFT，且要迭代若干次，若信号规模很大或对实时性要求高，可能比较耗时。
3. 依赖初值：不恰当的初值设置可能导致局部极小或收敛慢。
4. 仍有边界效应：在信号起止点附近，可能出现振荡或过冲。

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实际应用中需要注意的问题

1. 信号预处理：去除趋势项、归一化或滤波，能提高 VMD 效果并减少干扰。
2. 端点延拓：如果信号在边缘波形变化剧烈，可考虑在分解前对两端做延拓，减小边界影响。
3. 模态数选择：
   • 可先做简单频谱分析，看是否能找到主要峰值或带宽范围；
   • 也可通过经验，如在 K 从 1 增加到某个值时，观察分解残差或目标函数（如频域带宽）的变化情况，达到一定稳定就可停止。
4. $\alpha$ 选择：尝试在若干典型值（如从较小到较大的指数变化）下观察分解质量、各模态分布、重构误差，再做决定。
5. 多次实验：VMD 收敛到局部极小的可能性存在。若条件允许，可重复多次迭代，并选取最优结果。

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示例代码

下面给出一个示例 Python 代码，演示如何使用 vmdpy 库对信号进行 VMD 分解，以及如何可视化结果。该示例包含一些可调参数和可选可视化流程，供读者参考。若无 vmdpy 库，可自行下载或安装（pip install vmdpy）。对于研究学习，也可查看该库的源码或实现自己的 VMD 程序。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 如果已经安装 vmdpy 则可直接引用
# 若没有安装：pip install vmdpy
from vmdpy import VMD

# -----------------------------
# 1. 生成或导入示例信号
# -----------------------------
fs = 1000          # 采样率
t_max = 1.0        # 信号时长
t = np.linspace(0, t_max, int(fs * t_max), endpoint=False)

# 构造一个包含三种不同频率正弦+噪声的信号
f1 = 5   # 5 Hz
f2 = 50  # 50 Hz
f3 = 120 # 120 Hz

sig1 = np.sin(2 * np.pi * f1 * t)
sig2 = 0.4 * np.sin(2 * np.pi * f2 * t)
sig3 = 0.2 * np.sin(2 * np.pi * f3 * t)

# 加入随机噪声
noise = 0.1 * np.random.randn(len(t))

# 综合信号
f = sig1 + sig2 + sig3 + noise

# -----------------------------
# 2. VMD 参数设置
# -----------------------------
alpha = 2000       # 惩罚系数，控制带宽大小
tau = 0.0          # 拉格朗日乘子更新步长
K = 3              # 预设要分解的模态数
DC = 0             # 是否估计直流分量
init = 1           # 初始化方式 (1为全零)
tol = 1e-7         # 收敛阈值

# -----------------------------
# 3. 调用 VMD 分解
# -----------------------------
u, omega = VMD(f, alpha, tau, K, DC, init, tol, fs)

# u 形状 = (K, N)，包含 K 个模态
# omega 是每个模态的中心频率 (单位: Hz)，形状 = (K,)

print("Estimated center frequencies (Hz):", omega)

# -----------------------------
# 4. 可视化结果
# -----------------------------
plt.figure(figsize=(10,8))

# (a) 原信号
plt.subplot(K+1, 1, 1)
plt.plot(t, f, 'k')
plt.title("Original signal")

# (b) 各模态
for i in range(K):
    plt.subplot(K+1, 1, i+2)
    plt.plot(t, u[i,:], label=f"IMF {i+1}")
    plt.legend(loc='upper right')

plt.tight_layout()
plt.show()

# -----------------------------
# 5. 结果分析
# -----------------------------
# 亦可查看各模态的频谱，判断是否将不同频率成分分离

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代码简要解读

1. 信号合成
   • 以 5 Hz、50 Hz、120 Hz 为主频率的三个正弦分量叠加，并加入少量噪声，构成一个相对简单但包含多频率的测试信号。
2. VMD 参数
   • alpha、K、tol 等是控制分解过程的重要参数；若信号更复杂，可以尝试不同 alpha 与 K。
3. VMD() 函数
   • 来自 vmdpy 库，接受时域信号、一些控制参数和采样率，返回分解后的模态矩阵 u 和各模态的中心频率 omega。
4. 可视化
   • 依次绘制原信号和分解出的各模态，以直观观察结果。

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参考资料

1. Dragomiretskiy, K., & Zosso, D. (2014). Variational mode decomposition. IEEE Transactions on Signal Processing, 62(3), 531-544.
2. Rehman, N., & Mandic, D. P. (2010). Empirical mode decomposition for trivariate signals. IEEE Transactions on Signal Processing, 58(3), 1059-1068. (关于 EMD 扩展的参考)
3. Wu, Z., & Huang, N. E. (2009). Ensemble empirical mode decomposition: a noise-assisted data analysis method. Advances in Adaptive Data Analysis, 1(01), 1-41. (EEMD 原文献)
4. Colominas, M. A., Schlotthauer, G., & Torres, M. E. (2014). Improved complete ensemble EMD: A suitable tool for biomedical signal processing. Biomedical Signal Processing and Control, 14, 19-29. (CEEMDAN 相关方法)