VC++计算精解【6】

二分法（Bisection Method）

数学原理

• 如果一个函数$f(x)$ 在闭区间$[a,b]$ 上连续，且满足$f(a)\cdot f(b)<0$（即$f(a)$ 和$f(b)$ 异号），那么在开区间$(a,b)$ 中至少存在一个$c$ 使得：
  $$f(c)=0$$
• 二分法通过反复缩小区间$[a,b]$ 来逼近根。
  • 条件
    • $f(x)$ 在区间$[a,b]$ 上连续
    • $f(a)\cdot f(b)<0$
  • 中点
    • 计算中点
      $$c=\frac{a+b}{2}$$
  • $f(c)=0$ 或$|b-a|<\text{预设的误差范围}$
    • $c$ 即为近似解。
    • 否则继续迭代。

4. 缩小区间：
   根据$f(c)$ 的符号，选择包含根的半区间：

   • 如果$f(a)\cdot f(c)<0$，则根位于$[a,c]$，更新区间为$[a,c]$；
   • 如果$f(c)\cdot f(b)<0$，则根位于$[c,b]$，更新区间为$[c,b]$。

5. 重复迭代：
   按上述步骤反复迭代，直到满足收敛条件（例如区间长度足够小或$f(c)$ 足够接近 0）。

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c++

#include 
#include 

using namespace std;


// 函数定义
double f(double x) {
    return 3*pow(x,3) -7*pow(x,2) +11; 
}

// 二分法函数
double bisection(double a, double b, double tol, function<double(double)> func) {
    double c;
    if (func(a) * func(b) >= 0) {
        cerr << "f(a)和f(b)必须符号相反!" << endl;
        return NAN;
    }

     c = a; // 中点
    while ((b - a) >= tol) {
        // 计算中点
        c = (a + b) / 2;

        // 检查是否是解
        if (abs(func(c)) <= tol)
            break;

        // 判断解在左区间还是右区间
        if (func(c) * func(a) < 0)
            b = c;
        else
            a = c;
    }
    return c;
}

int main() {
    double a = -5, b = 5; // 初始区间 [a, b]
    double tol = 1e-6;   // 误差容忍度

    double root = bisection( a, b, tol, f);
    if (!isnan(root)) {
        cout << "根是: " << root << endl;
    }
    return 0;
}

参考文献

1. chatgpt