贝赛尔曲线,四点控制

2009年07月13日

　　自从上个世纪60年代，雷诺汽车公司第一次把由手工设计车体(粘土)的任务转到由计算机来完成，二维的贝塞尔曲线就成了计算机图形学中最有用的曲线之一(继直线和椭圆之后)。在PostScript中，所有曲线都用贝塞尔曲线表示--椭圆线也用贝塞尔曲线来逼近，贝塞尔曲线也用于定义PostScript字体的字符轮廓。今天的我们要感谢Pierm Bezier，是他通过一些数学的计算和推导，最后找到了这套近乎完美的曲线公式，它的作用毫不逊于数学当中另一个奇迹--黄金分割点。不仅仅如此，其实自然界中，看似纷繁复杂的万事万物没有哪一个不蕴含着它自身的规律，或许它们就是一个一个完美的奇迹，等着用数学去发现。

　　在说贝塞尔曲线之前，我首先要说一说"样条"这个概念。"样条"这个词以前指的是一片木头、橡皮或者金属，用来在纸上画曲线。比如说，如果你有一些分开的图上的点，想要在它们之间画一条曲线(内插或者外插)，首先将这些点描在绘图纸上，然后，将样条定在这些点上，并用铅笔沿着样条绕着这些点弯曲的方向画曲线。现在，"样条"指的是数学公式。用贝塞尔样条(即公式)画线，我们就能得到贝塞尔曲线。

　　贝塞尔曲线之所以被广泛的应用于计算机的辅助设计，是因为贝塞尔样条(公式)具有以下几个重要的特点：

　　第一，贝塞尔样条常常比较具有美感，这是一个公认的主观评价；

　　第二，经过不断的调整，贝塞尔样条可以逼近任意的形状；

　　第三，贝塞尔样条总是由其两个端点开始和结束的，因此它非常好控制；

　　第四，贝塞尔样条没有奇点，这在计算机的设计中是非常重要的。事实上，贝塞尔曲线总是受限于由端点和控制点连接而成的四边形(称作"凸包")。

　　第五，贝塞尔曲线总是与第一个控制点到起点的直线相切，并保持同一方向；同时，也与第二个控制点到终点的直线相切，并保持同一方向。

　　一条二维的贝塞尔样条是由4个点定义的，两个端点和两个控制点。假设起点是(x0,y0)，终点是(x3,y3)，两个控制点分别是(x1,y1)和(x2,y2)，下面是贝塞尔样条的参数方程：

　　x(t) = (1-t)3x0 + 3t(1-t)2x1 + 3t2(1-t)x2 + t3x3

　　y(t) = (1-t)3y0 + 3t(1-t)2y1 + 3t2(1-t)y2 + t3y3

　　其中，t 的值从0到1变化，这样就可以画出曲线。

　　在实际的编程中，即使不知道上面的公式也可以使用贝塞尔样条。在Window API中，有现成的函数供调用，利用该函数可以画一条或多条连接的贝塞尔样条：PolyBezier(hdc,apt,iCount)。这个函数中，hdc是设备描述表句柄；apt是POINT结构的数组，前四个点依次给出贝塞尔曲线的起点、第一个控制点、第二个控制点和终点，此后的每一条贝塞尔曲线只需给出三个点，因为后一条贝塞尔曲线的起点就是前一条贝塞尔曲线的终点，如此类推；iCount是数组中点的个数，它的值等于1加上所绘制的曲线条数的三倍。

　　另外要注重，在画一系列的贝塞尔样条时，只有当第一条贝塞尔曲线的第二个控制点、第一条贝塞尔曲线的终点(也是第二条贝塞尔曲线的起点)和第二条贝塞尔曲线的第一个控制点线性相关时，也就是这三个点在同一条直线上时，曲线在连接点处才是光滑的。