CCF-CSP认证考试 202303-2 垦田计划 100分题解

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原题链接： 202303-2 垦田计划

时间限制： 1.0s
内存限制： 512.0MB

问题描述

顿顿总共选中了 $n$ 块区域准备开垦田地，由于各块区域大小不一，开垦所需时间也不尽相同。据估算，其中第 $i$ 块（$1\le i\le n$）区域的开垦耗时为 $t_i$ 天。这 $n$ 块区域可以同时开垦，所以总耗时 $t_{Total}$ 取决于耗时最长的区域，即：$$t_{Total}=\max \{t_1,t_2,\cdots ,t_n\}$$

为了加快开垦进度，顿顿准备在部分区域投入额外资源来缩短开垦时间。具体来说：

• 在第 $i$ 块区域每投入 $c_i$ 单位资源，便可将其开垦耗时缩短 $1$ 天；
• 耗时缩短天数以整数记，即第 $i$ 块区域投入资源数量必须是 $c_i$ 的整数倍；
• 在第 $i$ 块区域最多可投入 $c_i\times (t_i-k)$ 单位资源，将其开垦耗时缩短为 $k$ 天；
• 这里的 $k$ 表示开垦一块区域的最少天数，满足 $0<k\le \min \{t_1,t_2,\cdots ,t_n\}$；换言之，如果无限制地投入资源，所有区域都可以用 $k$ 天完成开垦。

现在顿顿手中共有 $m$ 单位资源可供使用，试计算开垦 $n$ 块区域最少需要多少天？

输入格式

从标准输入读入数据。

输入共 $n+1$ 行。

输入的第一行包含空格分隔的三个正整数 $n$、$m$ 和 $k$，分别表示待开垦的区域总数、顿顿手上的资源数量和每块区域的最少开垦天数。

接下来 $n$ 行，每行包含空格分隔的两个正整数 $t_i$ 和 $c_i$，分别表示第 $i$ 块区域开垦耗时和将耗时缩短 $1$ 天所需资源数量。

输出格式

输出到标准输出。

输出一个整数，表示开垦 $n$ 块区域的最少耗时。

样例输入1

4 9 2
6 1
5 1
6 2
7 1

样例输出1

5

样例解释

如下表所示，投入 $5$ 单位资源即可将总耗时缩短至 $5$ 天。此时顿顿手中还剩余 $4$ 单位资源，但无论如何安排，也无法使总耗时进一步缩短。

$i$	基础耗时 $t_i$	缩减 $1$ 天所需资源 $c_i$	投入资源数量	实际耗时
1	6	1	1	5
2	5	1	0	5
3	6	2	2	5
4	7	1	2	5

样例输入2

4 30 2
6 1
5 1
6 2
7 1

样例输出2

2

样例解释

投入 $20$ 单位资源，恰好可将所有区域开垦耗时均缩短为 $k=2$ 天；受限于 $k$，剩余的 $10$ 单位资源无法使耗时进一步缩短。

子任务

$70\%$ 的测试数据满足：$0<n,t_i,c_i\le 100$ 且 $0<m\le 10^6$；

全部的测试数据满足：$0<n,t_i,c_i\le 10^5$ 且 $0<m\le 10^9$。

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题解

对于一个天数 $x$，如果能在 $x$ 天完成任务（缩短后的），必定能在 $x+1,x+2,\cdots$ 天内完成；反之，如果不能在 $x$ 天完成任务，必定不能在 $x-1,x-2,\cdots$ 天内完成。

因此答案具有二分性，通过二分答案，找到最小的 $x$，使得能在 $x$ 天完成任务，而不能再 $x-1$ 天完成任务。

二分的 check 函数直接遍历每个开垦区域，计算每个区域缩短到 mid 天内完成需要消耗的总资源，与有的资源 $m$ 去比较来判断是否满足条件。

时间复杂度：$\mathcal{O}(n\log t)$。

参考代码（46ms，3.527MB）

/*
    Created by Pujx on 2024/3/19.
*/
#pragma GCC optimize(2, 3, "Ofast", "inline")
#include 
using namespace std;
#define endl '\n'
//#define int long long
//#define double long double
using i64 = long long;
using ui64 = unsigned long long;
using i128 = __int128;
#define inf (int)0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define yn(x) cout << (x ? "yes" : "no") << endl
#define Yn(x) cout << (x ? "Yes" : "No") << endl
#define YN(x) cout << (x ? "YES" : "NO") << endl
#define mem(x, i) memset(x, i, sizeof(x))
#define cinarr(a, n) for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i]
#define cinstl(a) for (auto& x : a) cin >> x;
#define coutarr(a, n) for (int i = 1; i <= n; i++) cout << a[i] << " \n"[i == n]
#define coutstl(a) for (const auto& x : a) cout << x << ' '; cout << endl
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define md(x) (((x) % mod + mod) % mod)
#define ls (s << 1)
#define rs (s << 1 | 1)
#define ft first
#define se second
#define pii pair<int, int>
#ifdef DEBUG
    #include "debug.h"
#else
    #define dbg(...) void(0)
#endif

const int N = 2e5 + 5;
//const int M = 1e5 + 5;
const int mod = 998244353;
//const int mod = 1e9 + 7;
//template  T ksm(T a, i64 b) { T ans = 1; for (; b; a = 1ll * a * a, b >>= 1) if (b & 1) ans = 1ll * ans * a; return ans; }
//template  T ksm(T a, i64 b, T m = mod) { T ans = 1; for (; b; a = 1ll * a * a % m, b >>= 1) if (b & 1) ans = 1ll * ans * a % m; return ans; }

int t[N], c[N];
int n, m, k, q;

void work() {
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> t[i] >> c[i];
    int l = k, r = 1e5, ans = r;
    while (l <= r) {
        auto check = [&] (int x) -> bool {
            int sum = m;
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                if (t[i] <= x) continue;
                if (sum < 1ll * (t[i] - x) * c[i]) return false;
                sum -= (t[i] - x) * c[i];
            }
            return true;
        };
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) ans = mid, r = mid - 1;
        else l = mid + 1;
    }
    cout << ans << endl;
}

signed main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("C:\\Users\\admin\\CLionProjects\\Practice\\data.in", "r", stdin);
    freopen("C:\\Users\\admin\\CLionProjects\\Practice\\data.out", "w", stdout);
#endif
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int Case = 1;
    //cin >> Case;
    while (Case--) work();
    return 0;
}
/*
     _____   _   _       _  __    __
    |  _  \ | | | |     | | \ \  / /
    | |_| | | | | |     | |  \ \/ /
    |  ___/ | | | |  _  | |   }  {
    | |     | |_| | | |_| |  / /\ \
    |_|     \_____/ \_____/ /_/  \_\
*/

关于代码的亿点点说明：

1. 代码的主体部分位于 void work() 函数中，另外会有部分变量申明、结构体定义、函数定义在上方。
2. #pragma ... 是用来开启 O2、O3 等优化加快代码速度。
3. 中间一大堆 #define ... 是我习惯上的一些宏定义，用来加快代码编写的速度。
4. "debug.h" 头文件是我用于调试输出的代码，没有这个头文件也可以正常运行（前提是没定义 DEBUG 宏），在程序中如果看到 dbg(...) 是我中途调试的输出的语句，可能没删干净，但是没有提交上去没有任何影响。
5. ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0); 这三句话是用于解除流同步，加快输入 cin 输出 cout 速度（这个输入输出流的速度很慢）。在小数据量无所谓，但是在比较大的读入时建议加这句话，避免读入输出超时。如果记不下来可以换用 scanf 和 printf，但使用了这句话后，cin 和 scanf、cout 和 printf 不能混用。
6. 将 main 函数和 work 函数分开写纯属个人习惯，主要是为了多组数据。