算法沉淀——动态规划之简单多状态 dp 问题(下)(leetcode真题剖析)

算法沉淀——动态规划之简单多状态 dp 问题(下)(leetcode真题剖析)_第1张图片

动态规划之简单多状态 dp 问题

  • 01.买卖股票的最佳时机含冷冻期
  • 02.买卖股票的最佳时机含手续费
  • 03.买卖股票的最佳时机 III
  • 04.买卖股票的最佳时机 IV

01.买卖股票的最佳时机含冷冻期

题目链接:https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/

给定一个整数数组prices,其中第 prices[i] 表示第 *i* 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下,你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票):

  • 卖出股票后,你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

**注意:**你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。

示例 1:

输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3 
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

示例 2:

输入: prices = [1]
输出: 0 

提示:

  • 1 <= prices.length <= 5000
  • 0 <= prices[i] <= 1000

思路

  1. 状态表表示:
    • 对于线性动态规划,我们使用“经验+题目要求”方式定义状态表。在这里,我们选择以某个位置为结尾的方式,并考虑了三个状态:买入、可交易和冷冻期。
    • 用三个数组表示这些状态:
      • dp[i][0]:第 i 天结束后,处于“买入”状态的最大利润。
      • dp[i][1]:第 i 天结束后,处于“可交易”状态的最大利润。
      • dp[i][2]:第 i 天结束后,处于“冷冻期”状态的最大利润。
  2. 状态转移方程:
    • 根据规则: i. 处于“买入”状态时,可以继续持有股票或卖出股票。 ii. 处于“卖出”状态时,需要考虑是否在冷冻期。
    • 对于 dp[i][0],有两种情况可达到这个状态: i. 在 i-1 天持有股票,此时最大收益应与 i-1 天相同:dp[i-1][0]。 ii. 在 i 天买入股票,选择 i-1 天不在冷冻期买入,最大收益为:dp[i-1][1] - prices[i]。 综合两种情况取最大值:dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i])
    • 对于 dp[i][1],有两种情况可达到这个状态: i. 在 i-1 天处于冷冻期,对应状态为:dp[i-1][2]。 ii. 在 i-1 天没有股票,不在冷冻期,对应状态为:dp[i-1][1]。 综合两种情况取最大值:dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][2])
    • 对于 dp[i][2],只有一种情况可达到这个状态:在 i-1 天卖出股票,对应状态转移为:dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i]
  3. 初始化:
    • 由于每个状态都依赖于前一个位置的值,需要初始化每一行的第一个位置:
      • dp[0][0]:初始为购买第一天的股票,设为负股价:-prices[0]
      • dp[0][1]:初始为无操作,设为0。
      • dp[0][2]:初始为无股票,即冷冻期,设为0。
  4. 填表顺序:
    • 根据状态表表示,从左往右依次填充三个表格。
  5. 返回值:
    • 返回卖出状态下的最大值,即 max(dp[n-1][1], dp[n-1][2])

代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n=prices.size();
        vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(3));

        dp[0][0]=-prices[0];
        for(int i=1;i<n;++i)
        {
            dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);
            dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][2]);
            dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i];
        }

        return max(dp[n-1][1],dp[n-1][2]);
    }
};

02.买卖股票的最佳时机含手续费

题目链接:https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/

给定一个整数数组 prices,其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ;整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易,但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票,在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

**注意:**这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程,每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1:

输入:prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出:8
解释:能够达到的最大利润:  
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

示例 2:

输入:prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3
输出:6

提示:

  • 1 <= prices.length <= 5 * 104
  • 1 <= prices[i] < 5 * 104
  • 0 <= fee < 5 * 104

思路

  1. 状态表表示:
    • 对于线性动态规划,我们采用“经验+题目要求”的方式定义状态表。在这里,我们选择以某个位置为结尾的方式,结合题目要求,定义了两个状态数组:
      • f[i] 表示第 i 天结束后,处于“买入”状态的最大利润。
      • g[i] 表示第 i 天结束后,处于“卖出”状态的最大利润。
  2. 状态转移方程:
    • 在选择在“卖出”状态支付手续费的情况下,可以简化为在“买入”状态时不考虑手续费问题。
    • 对于 f[i],有两种情况可达到这个状态: i. 在 i-1 天持有股票,第 i 天啥也不做,最大收益为 f[i-1]。 ii. 在 i-1 天没有股票,在第 i 天买入股票,最大收益为 g[i-1] - prices[i]。 综合两种情况取最大值:f[i] = max(f[i-1], g[i-1] - prices[i])
    • 对于 g[i],有两种情况可达到这个状态: i. 在 i-1 天持有股票,在第 i 天将股票卖出,最大收益为 f[i-1] + prices[i] - fee。 ii. 在 i-1 天没有股票,第 i 天啥也不做,最大收益为 g[i-1]。 综合两种情况取最大值:g[i] = max(g[i-1], f[i-1] + prices[i] - fee)
  3. 初始化:
    • 由于需要使用前一个状态,初始化第一个位置:
      • f[0] 处于“买入”状态,初始化为 -prices[0]
      • g[0] 处于“没有股票”状态,初始化为 0
  4. 填表顺序:
    • 从左往右填充两个表格。
  5. 返回值:
    • 返回“卖出”状态下最后一天的最大值收益:g[n - 1]

代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
        int n=prices.size();
        vector<int> f(n);
        vector<int> g(n);
        f[0]=-prices[0];
        for(int i=1;i<n;++i)
        {
            f[i]=max(f[i-1],g[i-1]-prices[i]);
            g[i]=max(g[i-1],f[i-1]+prices[i]-fee);
        }

        return g[n-1];
    }   
};

03.买卖股票的最佳时机 III

题目链接:https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/

给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

**注意:**你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。

示例 1:

输入:prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出:6
解释:在第 4 天(股票价格 = 0)的时候买入,在第 6 天(股票价格 = 3)的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后,在第 7 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 8 天 (股票价格 = 4)的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2:

输入:prices = [1,2,3,4,5]
输出:4
解释:在第 1 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 5 天 (股票价格 = 5)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票,之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易,你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:

输入:prices = [7,6,4,3,1] 
输出:0 
解释:在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4:

输入:prices = [1]
输出:0

提示:

  • 1 <= prices.length <= 105
  • 0 <= prices[i] <= 105

思路

  1. 状态表示:
    • 使用「经验 + 题目要求」定义线性动态规划的状态表示。
    • 选择以某个位置为结尾的方式,结合题目要求,定义状态表示。
    • 使用两个数组表示「买入」和「可交易」两个状态,并加上一维表示交易次数。
    • 定义 f[i][j] 表示第 i 天结束后,完成了 j 次交易,处于「买入」状态的最大利润;g[i][j] 表示第 i 天结束后,完成了 j 次交易,处于「卖出」状态的最大利润。
  2. 状态转移方程:
    • 对于 f[i][j],有两种情况:在 i-1 天交易了 j 次且处于「买入」状态,或在 i-1 天交易了 j 次且处于「卖出」状态。取两者的最大值。
    • 对于 g[i][j],有两种情况:在 i-1 天交易了 j 次且处于「卖出」状态,或在 i-1 天交易了 j-1 次且处于「买入」状态。同样取两者的最大值,但需要判断 j 是否大于等于 1。
  3. 初始化:
    • 初始化第一行,考虑第 0 天只能处于「买入过一次」状态的情况,设置 f[0][0] 为 -prices[0],其余状态为 -INF(防止减法发生越界的常用手段)。
  4. 填表顺序:
    • 从上往下每一行,从左往右填充状态表。
  5. 返回值:
    • 返回处于「卖出状态」的最大值,即 g 表的最后一行的最大值。

代码

class Solution {
    const int INF = 0x3f3f3f3f;
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n=prices.size();
        vector<vector<int>> f(n,vector<int>(3,-INF));
        vector<vector<int>> g(n,vector<int>(3,-INF));

        f[0][0]=-prices[0],g[0][0]=0;
        for(int i=1;i<n;i++)
            for(int j=0;j<3;++j){
                f[i][j]=max(f[i-1][j],g[i-1][j]-prices[i]);
                g[i][j]=g[i-1][j];
                if(j>0) g[i][j]=max(g[i][j],f[i-1][j-1]+prices[i]);
            }
        
        return max(g[n-1][0],max(g[n-1][1],g[n-1][2]));
    }
};

04.买卖股票的最佳时机 IV

题目链接:https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/

给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ,其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说,你最多可以买 k 次,卖 k 次。

**注意:**你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。

示例 1:

输入:k = 2, prices = [2,4,1]
输出:2
解释:在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入,在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2:

输入:k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出:7
解释:在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入,在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
     随后,在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入,在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

提示:

  • 1 <= k <= 100
  • 1 <= prices.length <= 1000
  • 0 <= prices[i] <= 1000

思路

这里和上一题最大的区别就是交易次数的限制,需要注意的是,k值可能超过数组长度的一半,所以我们需要注意k的取值,其余同上一题的原理。

代码

class Solution {
    const int INF = 0x3f3f3f3f;
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        int n=prices.size();
        k=min(k,n/2);
        vector<vector<int>> f(n,vector<int>(k+1,-INF));
        vector<vector<int>> g(n,vector<int>(k+1,-INF));

        f[0][0]=-prices[0],g[0][0]=0;
        for(int i=1;i<n;i++)
            for(int j=0;j<=k;++j){
                f[i][j]=max(f[i-1][j],g[i-1][j]-prices[i]);
                g[i][j]=g[i-1][j];
                if(j>0) g[i][j]=max(g[i][j],f[i-1][j-1]+prices[i]);
            }
        
        int ret = 0;
        for(int i=0;i<=k;++i)
            ret=max(ret,g[n-1][i]);
        
        return ret;
    }
};

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