【Leetcode】741. Cherry Pickup
题目地址：
https://leetcode.com/problems/cherry-pickup/
给定一个正方形矩阵，里面的数都是 0 0 0、 1 1 1或者 − 1 -1 −1， 1 1 1代表有樱桃， 0 0 0代表空地，可以走过去， − 1 -1 −1代表障碍物，不能走过去。现在要求从 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)出发，每次只能向右或者向下走，走到 ( n − 1 , n − 1 ) (n-1,n-1) (n−1,n−1)，沿途不可以走到障碍物上，但可以走到空地和樱桃上，如果走到樱桃上则可以采摘，采完后樱桃就被采完了，接着再从 ( n − 1 , n − 1 ) (n-1,n-1) (n−1,n−1)一路返回 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)，只能向左或者向上走，沿途也可以采摘樱桃，并且不能穿过障碍物。问两趟走完，最多能采多少樱桃。如果无法到达，则返回 0 0 0。
主要思路是动态规划。由于同一个樱桃不能采摘多次，所以我们在设计状态的时候，需要将这个情况考虑进去。至于走两趟这个问题，我们可以将返回的那一趟逆置一下，也变成从 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)出发的一个路径即可。这样就相当于从 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)出发走两趟，或者相当于两个人同时走。结果是等价的。
设方格矩阵为 g [ i ] [ j ] g[i][j] g[i][j]。接下来，设 f [ k ] [ i 1 ] [ i 2 ] f[k][i_1][i_2] f[k][i1][i2]表示从 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)出发，第一个人走到 ( i 1 , k − i 1 ) (i_1,k-i_1) (i1,k−i1)，第二个人走到 ( i 2 , k − i 2 ) (i_2,k-i_2) (i2,k−i2)时，采摘的樱桃最大数。我们用 − 1 -1 −1来表示走不到那个格子。那么这个采摘樱桃的数量，可能有四种情况：
1、第一个人向右走到 ( i 1 , k − i 1 ) (i_1,k-i_1) (i1,k−i1)，第二个人也向右走到 ( i 2 , k − i 2 ) (i_2,k-i_2) (i2,k−i2)（即”右右“），这种情况下采摘的樱桃数为，如果 i 1 ≠ i 2 i_1\ne i_2 i1=i2，那么 f [ k − 1 ] [ i 1 ] [ i 2 ] + g [ i 1 ] [ k − i 1 ] + g [ i 2 ] [ k − i 2 ] f[k-1][i_1][i_2]+g[i_1][k-i_1]+g[i_2][k-i_2] f[k−1][i1][i2]+g[i1][k−i1]+g[i2][k−i2]，否则 f [ k − 1 ] [ i 1 ] [ i 2 ] + g [ i 1 ] [ k − i 1 ] f[k-1][i_1][i_2]+g[i_1][k-i_1] f[k−1][i1][i2]+g[i1][k−i1]，这样就表达了“同一个樱桃不能采摘多次”这个意思。
2、第一个人向下走到 ( i 1 , k − i 1 ) (i_1,k-i_1) (i1,k−i1)，第二个人也向右走到 ( i 2 , k − i 2 ) (i_2,k-i_2) (i2,k−i2)（即”下右“），这种情况下采摘的樱桃数为，如果 i 1 ≠ i 2 i_1\ne i_2 i1=i2，那么 f [ k − 1 ] [ i 1 − 1 ] [ i 2 ] + g [ i 1 ] [ k − i 1 ] + g [ i 2 ] [ k − i 2 ] f[k-1][i_1-1][i_2]+g[i_1][k-i_1]+g[i_2][k-i_2] f[k−1][i1−1][i2]+g[i1][k−i1]+g[i2][k−i2]，否则 f [ k − 1 ] [ i 1 − 1 ] [ i 2 ] + g [ i 1 ] [ k − i 1 ] f[k-1][i_1-1][i_2]+g[i_1][k-i_1] f[k−1][i1−1][i2]+g[i1][k−i1]。
…以此类推。这样一路递推下去，最后 f [ 2 n − 2 ] [ n − 1 ] [ n − 1 ] f[2n-2][n-1][n-1] f[2n−2][n−1][n−1]即为所求结果。但是，还有几个细节需要处理：
第一，如果 g [ i ] [ j ] = − 1 g[i][j]=-1 g[i][j]=−1，那么这个格子不允许走，需要特殊处理。如果其中一个人走到了障碍物，可以直接标记 f = − 1 f=-1 f=−1。
第二，如果在第 k k k层的某方格上，其上一层 f [ k − 1 ] f[k-1] f[k−1]的这个方格和这个方格的左边、上边和左上都是 − 1 -1 −1，其实说明了这个方格事实上是走不到的，也要直接标记为 − 1 -1 −1。
代码如下：
class Solution {
public:
int cherryPickup(vector<vector<int>>& g) {
int n = g.size(), f[2 * n - 1][n][n];
memset(f, -1, sizeof f);
for (int k = 0; k < 2 * n - 1; k++)
for (int i1 = 0; i1 < n; i1++)
for (int i2 = 0; i2 < n; i2++) {
int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
if (0 <= j1 && j1 < n && 0 <= j2 && j2 < n && ~g[i1][j1] && ~g[i2][j2]) {
if (!k) f[0][0][0] = g[0][0];
else {
int t = -1;
// 左左
if (j1 && j2) t = max(t, f[k - 1][i1][i2]);
// 上上
if (i1 && i2) t = max(t, f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1]);
// 左上
if (j1 && i2) t = max(t, f[k - 1][i1][i2 - 1]);
// 上左
if (i1 && j2) t = max(t, f[k - 1][i1 - 1][i2]);
if (~t) {
t += g[i1][j1] + g[i2][j2];
if (i1 == i2 && j1 == j2) t -= g[i1][j1];
f[k][i1][i2] = t;
}
}
}
}
return ~f[2 * n - 2][n - 1][n - 1] ? f[2 * n - 2][n - 1][n - 1] : 0;
}
};
时空复杂度 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)。算法正确性可由数学归纳法得。