代码随想录算法训练营Day53|1143.最长公共子序列、1035.不相交的线、53. 最大子序和

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1143.最长公共子序列

前言

思路

算法实现 

1035.不相交的线

前言

思路

算法实现

53. 最大子序和

前言

思路

算法实现

总结

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1143.最长公共子序列

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前言

         本题与上一题最长公共子数组类似，只是上一题要求连续，而本题没有这个要求。

思路

        利用动规五部曲进行分析：

1.确定dp数组及其下标含义：

        dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]；

2.确定递推公式：

        主要分为两种情况：

        ①text1[i - 1] 与text2[j - 1]相同时，则找到了一个连续的公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

        ②text[i - 1]与text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。

        即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

3.初始化dp数组：

        对于dp[i][0]和dp[0][j]本身没有意义，可以初始化为0，其他下标的初始对于结果没有影响，为了方便可以全部初始化为0；

4.确定遍历顺序：

       从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：

5.打印dp数组：

        以输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 为例，dp状态如图：

 

算法实现 

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        vector> dp(text1.size() + 1, vector (text2.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= text1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= text2.size(); j++) {
                if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else 
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
        return dp[text1.size()][text2.size()];
    }
};

1035.不相交的线

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前言

         本题的难点在于审题，要把题目想要表达的意思理解了，要明白题目的本质就是要求最长公共子序列。

思路

        直线不能相交，这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。

        本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！

        因此算法实现与上一题相同。

算法实现

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector& nums1, vector& nums2) {
        vector> dp(nums1.size() + 1, vector (nums2.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else 
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
        return dp[nums1.size()][nums2.size()];
    }
};

53. 最大子序和

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前言

         上一次遇到本题还是在贪心算法的章节，利用贪心算法巧妙地实现，这次利用动态规划的方法进行求解。

思路

        利用动规五部曲进行分析：

1.确定dp数组及其下标的含义：

        本题考虑的对象只有一个数组，因此可以仅创建一个一维的dp数组。

        dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。

2.确定递推公式：

        dp[i]只有两个方向可以推出来：

• dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
• nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和

        一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

3.初始哈dp数组：

        根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。

4.确定遍历顺序：

        递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。

5.打印dp数组：

        以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：

         我们要找最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列，而不是最后一个。

算法实现

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector& nums) {
        vector dp(nums.size(), 1);
        dp[0] = nums[0];
        int result = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
            result = max(result, dp[i]);
        }
        return result;
    }
};

总结

        今天主要还是练习子序列问题，明天继续，早日结束动态规划专题！