深刻理解树状数组--树状数组构造定义与动态维护区间和的合理性证明

一.树状数组概览

• 树状数组的下标从1开始标识,其物理结构是线性表,逻辑结构是一颗多叉树
  
• 对于一个原数组,树状数组可以动态维护原数组的区间和
• 下文中[]表示闭区间(包含端点),()表示开区间(不包含端点)

二.树状数组构造定义

lowbit运算

• 得到一个整数二进制最低位的1的运算

int lowbit(int n){
    return n & (-n);
}

• 根据计算机补码原理不难证明:
  

树状数组的结点值的定义

• 设原数组为arr,树状数组为Tree,Tree[n]表示原数组arr下标区间[n-lowbit(n)+1,n]中所有数的和
  

• 根据树状数组的结点值的定义,很容易可以得到一个求原数组前缀和的递归表达式:
  

• 现有树状数组Tree,可以给出求原数组arr区间[1,n]前缀和的函数:

int Get_Sum(int * Tree,int n){
    if(n == 0)return 0;
    return Get_Sum(Tree,n - lowbit(n)) + Tree[n];
}

• 不难分析,该递归函数的时间复杂度为logN级别

树状数组结点层次的定义

• 树状数组Tree[n]结点的层次为n二进制表示末位连续0的个数
• 根据该定义可知,树状数组所有奇数位结点层次全部为0
  
• 根据该定义可知,设树状数组中结点x的层数为k,则结点x+lowbit(x)的层数一定大于k(根据lowbit运算的定义很容易可以证明)

树状数组父子结点关系定义

• 树状数组Tree[n]结点的父节点定义为:Tree[n+lowbit(n)]
• 根据上述定义,可以直观地感受一下树状数组的逻辑结构:
  
  

三.关于树状数组结构的重要证明

引理1

• 引理1:树状数组第x个结点的父结点所代表的原数组和区间[x+lowbit(x)-lowbit(x+lowbit(x))+1,x+lowbit(x)]包含x
  • 由于lowbit(x + lowbit(x)) > lowbit(x),所以x+lowbit(x)-lowbit(x+lowbit(x))+1 <= x,引理1成立

引理2

• 引理2:树状数组第x个结点到其父结点之间的所有节点(不包括x结点和其父结点)所代表的原数组的和区间不包含x
  • 证明:
  • 最严格的证明应写成数学表达式,但考虑到直观性,这里略过了(其实并不难)
• 根据引理1和引理2,当原数组某个数arr[i]改变Δx时,树状数组只需从结点Tree[i]开始,沿着树中的路径向上层将每一个结点的值改变Δx就可以维持树状数组的数据结构完整性,实现了区间和的动态更新,时间复杂度为logN
  
• 原数组第n个元素改变change,树状数组Tree的更新函数:

//size表示树状数组的长度
void UpDate(int * Tree ,int size,int n , int change){
    for(int i = n  ; i <= size ; i+=lowbit(i)){
        Tree[i] += change;
    }
}

树状数组模板题

树状数组模板题1
树状数组模板提2