P、NP、NPC、NP困难

目录

一，P、NP

1，P问题

2，NP问题

3，P=NP？

二，多项式规约

三，NP难问题

四，NPC问题

五，四种问题的关系

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一，P、NP

1，P问题

如果一个问题可以找到一个能在多项式的时间里解决它的算法，那么这个问题就属于P问题。

2，NP问题

NP问题是指可以在多项式的时间里验证一个解的问题。

显然，P问题一定是NP问题。

3，P=NP？

是否存在一个NP问题，它不是P问题？

这个问题非常著名，至今没有定论。

著名的TSP问题，显然是一个NP问题，但它是不是P问题目前没有定论。

二，多项式规约

如果可以把问题A的解法表述成，先用多项式时间做输入转换，再调用问题B的算法多项式次，再用多项式时间做输出转换，那么我们说问题A可以多项式规约成问题B。

其中，输入、调用、输出的三个多项式时间，都是指关于问题A的规模的多项式时间复杂度。

显然，多项式规约具有传递性。

三，NP难问题

如果所有NP问题都可以多项式归约到某个问题，则称该问题为NP难问题，也叫NP困难问题。

NP难问题可能是NP问题，也可能不是NP问题。

四，NPC问题

如果一个NP问题是NP难问题，则称为NP完全问题，也叫NPC问题。

实例：布尔可满足性问题。

对于给定的真值方程式，是否存在一组变量赋值，使得结果为真？

这个已经被证明是NPC问题，只要证明了存在一个NPC问题，那么就有很多问题都很容易证明是NPC问题。

五，四种问题的关系

如果P不等于NP，即P是NP的真子集，那么NPC也是NP的真子集，P和NPC没有交集。

如果P等于NP，那么NPC是NP的真子集，几乎所有的NP问题都是NPC问题。

无论哪种情况，NPC问题都是NP难问题的真子集。