Acwing---797.差分
差分
- 1.题目
- 2.基本思想
- 3.代码实现
1.题目
输入一个长度为 n n n 的整数序列。
接下来输入 m m m 个操作，每个操作包含三个整数 l , r , c l,r,c l,r,c，表示将序列中 [ l , r ] [l,r] [l,r] 之间的每个数加上 c c c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n n n 和 m m m。
第二行包含 n n n 个整数，表示整数序列。
接下来 m m m 行，每行包含三个整数 l ， r ， c l，r，c l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含 n n n个整数，表示最终序列。
数据范围
1 ≤ n , m ≤ 100000 , 1≤n,m≤100000, 1≤n,m≤100000,
1 ≤ l ≤ r ≤ n , 1≤l≤r≤n, 1≤l≤r≤n,
− 1000 ≤ c ≤ 1000 , −1000≤c≤1000, −1000≤c≤1000,
− 1000 ≤ 整数序列中元素的值 ≤ 1000 −1000≤整数序列中元素的值≤1000 −1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2
2.基本思想
前缀和的逆运算
类似于数学中的求导和积分，差分可以看成前缀和的逆运算。
差分数组：
首先给定一个原数组a：a[1], a[2], a[3],,,,,, a[n];
然后我们构造一个数组b ： b[1] ,b[2] , b[3],,,,,, b[i];
使得 a[i] = b[1] + b[2 ]+ b[3] +,,,,,, + b[i]
也就是说，a数组是b数组的前缀和数组，反过来我们把b数组叫做a数组的差分数组。换句话说，每一个a[i]都是b数组中从头开始的一段区间和。
考虑如何构造差分b数组？
最为直接的方法
如下：
a[0 ]= 0;
b[1] = a[1] - a[0];
b[2] = a[2] - a[1];
b[3] =a [3] - a[2];
........
b[n] = a[n] - a[n-1];
图示:
我们只要有b数组，通过前缀和运算，就可以在O(n) 的时间内得到a数组 。
话说有这么一个问题：
给定区间[l ,r ]，让我们把a数组中的[ l, r]区间中的每一个数都加上c,即 a[l] + c , a[l+1] + c , a[l+2] + c ,,,,,, a[r] + c;
暴力做法是for循环l到r区间，时间复杂度O(n)，如果我们需要对原数组执行m次这样的操作，时间复杂度就会变成O(n*m)。有没有更高效的做法吗? 考虑差分做法。
始终要记得，a数组是b数组的前缀和数组，比如对b数组的b[i]的修改，会影响到a数组中从a[i]及往后的每一个数。
首先让差分b数组中的 b[l] + c ,a数组变成 a[l] + c ,a[l+1] + c,,,,,, a[n] + c;
然后我们打个补丁，b[r+1] - c, a数组变成 a[r+1] - c,a[r+2] - c,,,,,,,a[n] - c;
为啥还要打个补丁？
我们画个图理解一下这个公式的由来:
b[l] + c，效果使得a数组中a[l]及以后的数都加上了c(红色部分)，但我们只要求l到r区间加上c, 因此还需要执行 b[r+1] - c,让a数组中a[r+1]及往后的区间再减去c(绿色部分)，这样对于a[r] 以后区间的数相当于没有发生改变。
因此我们得出一维差分结论：给a数组中的[ l, r]区间中的每一个数都加上c,只需对差分数组b做 b[l] + = c, b[r+1] - = c。时间复杂度为O(1), 大大提高了效率。
总结：
3.代码实现
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int N = 100010;
static int[] a = new int[N], b = new int[N];
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt();
for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = sc.nextInt();//读入数组
for (int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, a[i]);//插入
while (m-- > 0) {
int l = sc.nextInt(), r = sc.nextInt(), c = sc.nextInt();
insert(l, r, c);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i] = b[i] + a[i - 1];//前缀和运算
System.out.print(a[i] + " ");
}//输出
}
private static void insert(int l, int r, int c) {
b[l] += c;
b[r + 1] -= c;
}
}