⭐算法入门⭐《二分枚举》中等05 —— LeetCode 1201. 丑数 III

文章目录

  • 一、题目
    • 1、题目描述
    • 2、基础框架
    • 3、原题链接
  • 二、解题报告
    • 1、思路分析
    • 2、时间复杂度
    • 3、代码详解
  • 三、本题小知识
  • 四、加群须知

一、题目

1、题目描述

  给你四个整数:n 、a 、b 、c ,请你设计一个算法来找出第 n 个丑数。丑数是可以被 a 或 b 或 c 整除的 正整数 。
  样例输入: n = 5, a = 2, b = 11, c = 13
  样例输出: 10

2、基础框架

  • C语言 版本给出的基础框架代码如下:
int nthUglyNumber(int n, int a, int b, int c){}

3、原题链接

LeetCode 1201. 丑数 III

二、解题报告

1、思路分析

   X X X 个数 中能被 a a a b b b 同时整除的个数记为 a b ab ab,能被 b b b c c c 同时整除的记为 b c bc bc,能被 a a a c c c 同时整除的记为 a c ac ac,能被 a a a b b b c c c 同时整除的个数,记为 a b c abc abc。根据容斥原理, a + b + c − a b − a c − b c + a b c a+b+c - ab - ac - bc + abc a+b+cabacbc+abc 就是能被任意一个数整除的个数。
  而这里的 a b ab ab 如何计算呢? a b ab ab 的值,就等于 X g c d ( a , b ) \frac {X} {gcd(a,b)} gcd(a,b)X X X X 越大,肯定满足条件的丑数越多,这是一个直观感受(当然也可以很容易的证明)。所以我们可以二分枚举 X X X,然后再用上述公式判断可行,满足 a + b + c − a b − a c − b c + a b c ≥ n a+b+c - ab - ac - bc + abc \ge n a+b+cabacbc+abcn 条件的最小的 X X X 就是答案了,所有满足这个条件的数定义为绿色,然后二分找绿色的左边界即可。

2、时间复杂度

   时间复杂度为 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)

3、代码详解



/************** 二分查找 数组 模板 **************/
/*

  1)传参的数组满足:红红红红红红红红绿绿绿绿绿绿绿; 
  2)返回值:绿色区段的左边界; 
*/

int isGreen(long long val, int x);

int binarySearch(int l, int r, int x) {
    int mid;
    while(l + 1 < r) {
        mid = l + (r - l) / 2;
        if( isGreen(mid, x) )
            r = mid;
        else
            l = mid;
    }
    return r;
}
/************** 二分查找 数组 模板 **************/
#define ll long long 
int A, B, C;

int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);     // (1)
}
ll lcm(int a, int b) {
    return (ll)a / gcd(a, b) * b;          // (2)
}

int isGreen(ll val, int x) {               // (3)
    ll ans = val / A + val / B + val / C - val / lcm(A, B) - val / lcm(B, C) - val / lcm(A, C) + val / lcm(lcm(A, B), C);
    return ans >= x;
}


int nthUglyNumber(int n, int a, int b, int c){
    A = a;
    B = b;
    C = c;
    return binarySearch(0, 2000000001, n); // (4)
}

  • ( 1 ) (1) (1) 计算 a a a b b b 的最大公约数;
  • ( 2 ) (2) (2) 计算 a a a b b b 的最小公倍数;
  • ( 3 ) (3) (3) 利用容斥原理判断二分可行性;
  • ( 4 ) (4) (4) 二分枚举找表达式满足的左边界就是答案;

三、本题小知识

   二分枚举一般也被用来枚举一个定义域上的可行解,只要这个解满足单调性。


四、加群须知

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