变分法：基本的符号和公式

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分部积分

设函数 $u=u(x)$和$v=v(x)$具有连续导数,则两个函数乘积的导数公式为:
$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$
$$⟹u{v}^{\prime }=(uv{)}^{\prime }-u^{\prime }v$$
$$⟹\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$$
$$⟹\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$$
【摆语】如果求$\int u{v}^{\prime }dx$有困难,而求$\int u^{\prime }vdx$比较容易时,分部积分公式就可以发挥作用了。
如求：$\int x^2{e}^{x}dx$。求$\int x^2{e}^{x}dx$比较困难，但求$\int x{e}^{x}dx$比较容易。

多元函数的泰勒展开

展开后为：