洛谷P1049 装箱问题（01背包问题应用）

题目描述

有一个箱子容量为 $V$，同时有 $n$ 个物品，每个物品有一个体积。

现在从 $n$ 个物品中，任取若干个装入箱内（也可以不取），使箱子的剩余空间最小。输出这个最小值。

输入格式

第一行共一个整数 $V$，表示箱子容量。

第二行共一个整数 $n$，表示物品总数。

接下来 $n$ 行，每行有一个正整数，表示第 $i$ 个物品的体积。

输出格式

共一行一个整数，表示箱子最小剩余空间。

样例输入

24
6
8
3
12
7
9
7

样例输出

0

提示

对于 $100\%$ 数据，满足 $0<n\le 30$，$1\le V\le 20000$。

分析题目：题目就是将背包问题中的包换成了箱子，让求最小剩余体积，也就是所能装的最大体积，思路还是不变，每个物品就两种选择，拿或者不拿。

状态表示：f[i] 表示容量为i的包所装物品的最大体积。
状态计算：
*************拿：f[i] = f[i]
*************不拿：f[i] = f[i - v[i]] + v[i]
******二者取最大值

• 完整代码
  看了很多题解，关于为什么体积要从大到小进行枚举貌似很少有人提。

如果从小到大进行枚举，那么就会重复拿物品。因为我们每个体积的初始化都是0，我们想要拿取的条件是$f[j]<f[j-v[i]]+v[i],$左边是0，右边肯定大于0，那么我们每次就是必拿，势必会造成重复拿的问题。
举个例子
输入：3 1 1
f[1]= f[0] + v[1] = 1
f[2] = f[2 - 1] + v[1] = 2
f[3] = f[3 - 1] + v[1] = 3
那么我们最后的结果就是V - 3 = 0，而正确结果应该是V - 1 = 2，这就是因为第一个物品被重复拿了
如果我们是从大到小进行枚举，在计算大体积时，就不会出现这种情况，只会拿一次
还拿上面那个例子说
f[3] = f[2] + v[1] = 0 + 1 = 1
f[2] = f[1] + v[1] = 0 + 1 = 1
f[1] = f[0] + v[1] = 0 + 1 = 1
答案就是正确的
因为我们在计算每一个体积时，不使用我们上面已经算出来的结果，每一个都是重新算，就不会重复拿了

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 20005;
int V, n, f[N], v[35];
int main() {
	cin >> V;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		cin >> v[i];
	}

	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		for (int j = V; j >= v[i]; j --) {
			if (f[j] < f[j - v[i]] + v[i]) {
				f[j] = f[j - v[i]] + v[i];
			}
		}
	}
	cout << V - f[V] << endl;
	return 0;
}

本题的分享就结束了，本题的细节就是在枚举的时候要从大到小进行枚举，也是难想到的一个地方。有问题的小伙伴可以在评论区留言
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