完全背包理论基础 C++力扣题目518--零钱兑换II
动态规划：完全背包理论基础
本题力扣上没有原题，大家可以去卡码网第52题 (opens new window)
#思路
#完全背包
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，所以我这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。
在下面的讲解中，我依然举这个例子：
背包最大重量为4。
物品为：
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
每件商品都有无限个！
问背包能背的物品最大价值是多少？
01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以本文就不去做动规五部曲了，我们直接针对遍历顺序经行分析！
关于01背包我如下两篇已经进行深入分析了：
- 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！(opens new window)
- 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）(opens new window)
首先再回顾一下01背包的核心代码
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：
// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
至于为什么，我在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中也做了讲解。
dp状态图如下：
相信很多同学看网上的文章，关于完全背包介绍基本就到为止了。
其实还有一个很重要的问题，为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？
这个问题很多题解关于这里都是轻描淡写就略过了，大家都默认 遍历物品在外层，遍历背包容量在内层，好像本应该如此一样，那么为什么呢？
难道就不能遍历背包容量在外层，遍历物品在内层？
看过这两篇的话：
- 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！(opens new window)
- 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）(opens new window)
就知道了，01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。
在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！
因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：
遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：
看了这两个图，大家就会理解，完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）。
先遍历背包在遍历物品，代码如下：
// 先遍历背包，再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
cout << endl;
}
完整的C++测试代码如下：
// 先遍历物品，在遍历背包
void test_CompletePack() {
vector weight = {1, 3, 4};
vector value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_CompletePack();
}
// 先遍历背包，再遍历物品
void test_CompletePack() {
vector weight = {1, 3, 4};
vector value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector dp(bagWeight + 1, 0);
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_CompletePack();
}
本题力扣上没有原题，大家可以去卡码网第52题 (opens new window)去练习，题意是一样的，C++代码如下：
#include
#include
using namespace std;
// 先遍历背包，再遍历物品
void test_CompletePack(vector weight, vector value, int bagWeight) {
vector dp(bagWeight + 1, 0);
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
int N, V;
cin >> N >> V;
vector weight;
vector value;
for (int i = 0; i < N; i++) {
int w;
int v;
cin >> w >> v;
weight.push_back(w);
value.push_back(v);
}
test_CompletePack(weight, value, V);
return 0;
}
#总结
细心的同学可能发现，全文我说的都是对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！
但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。
如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。
这个区别，我将在后面讲解具体leetcode题目中给大家介绍，因为这块如果不结合具题目，单纯的介绍原理估计很多同学会越看越懵！
别急，下一篇就是了！
最后，又可以出一道面试题了，就是纯完全背包，要求先用二维dp数组实现，然后再用一维dp数组实现，最后再问，两个for循环的先后是否可以颠倒？为什么？ 这个简单的完全背包问题，估计就可以难住不少候选人了。
518.零钱兑换II
力扣题目链接(opens new window)
给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
示例 1:
- 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
- 输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
- 5=5
- 5=2+2+1
- 5=2+1+1+1
- 5=1+1+1+1+1
示例 2:
- 输入: amount = 3, coins = [2]
- 输出: 0
- 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。
示例 3:
- 输入: amount = 10, coins = [10]
- 输出: 1
注意，你可以假设：
- 0 <= amount (总金额) <= 5000
- 1 <= coin (硬币面额) <= 5000
- 硬币种类不超过 500 种
- 结果符合 32 位符号整数
#思路
这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。
对完全背包还不了解的同学，可以看这篇：动态规划：关于完全背包，你该了解这些！(opens new window)
但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！
注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？
例如示例一：
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这是一种组合，都是 2 2 1。
如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。
组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。
那我为什么要介绍这些呢，因为这和下文讲解遍历顺序息息相关!
回归本题，动规五步曲来分析如下：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
- 确定递推公式
dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。
所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇494. 目标和 (opens new window)中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];
- dp数组如何初始化
首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。
那么 dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说 凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说 凑成总金额0的货币组合数为0，好像都没有毛病。
但题目描述中，也没明确说 amount = 0 的情况，结果应该是多少。
这里我认为题目描述还是要说明一下，因为后台测试数据是默认，amount = 0 的情况，组合数为1的。
下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]
dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。
- 确定遍历顺序
本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？
我在动态规划：关于完全背包，你该了解这些！ (opens new window)中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。
但本题就不行了！
因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！
而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。
所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。
本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。
那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。
我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。
代码如下：
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。
那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！
如果把两个for交换顺序，代码如下：
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。
此时dp[j]里算出来的就是排列数！
可能这里很多同学还不是很理解，建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来，对比看一看！（实践出真知）
- 举例推导dp数组
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：
最后红色框dp[amount]为最终结果。
以上分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:
int change(int amount, vector& coins) {
vector dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
};
- 时间复杂度: O(mn)，其中 m 是amount，n 是 coins 的长度
- 空间复杂度: O(m)
是不是发现代码如此精简
#总结
本题的递推公式，其实我们在494. 目标和 (opens new window)中就已经讲过了，而难点在于遍历顺序！
在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
可能说到排列数录友们已经有点懵了，后面Carl还会安排求排列数的题目，到时候在对比一下，大家就会发现神奇所在！