代码随想录算法训练营Day46|139.单词拆分、多重背包理论基础、背包问题总结
目录
139.单词拆分
方法一：回溯法
算法实现
方法二：背包问题
算法实现
多重背包理论基础
思路
算法实现
背包问题总结
前言
背包递推公式
遍历顺序
0-1背包
完全背包
139.单词拆分
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方法一：回溯法
在回溯专题中分割回文串与本题有点类似，分割回文串是枚举分割后的所有子串，判断是否回文；本题是枚举分割所有字符串，判断是否在字典里出现过。因此也可以使用回溯法进行实现。
算法实现
class Solution {
private:
bool backtracking(const string& s, const unordered_set& wordSet, vector& memory, int startIndex) {
if (startIndex >= s.size()) {
return true;
}
if (!memory[startIndex]) return memory[startIndex];
for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) {
string word = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);
if (wordSet.find(word) != wordSet.end() && backtracking(s, wordSet, memory, i + 1)) {
return true;
}
}
memory[startIndex] = false;
return false;
}
public:
bool wordBreak(string s, vector& wordDict) {
unordered_set wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());
vector memory(s.size(), 1);
return backtracking(s, wordSet,memory, 0);
}
}; 递归的过程中有很多重复计算，可以使用数组保存一下递归过程中计算的结果，这个叫做记忆化递归。
使用memory数组保存每次计算的以startIndex起始的计算结果，如果memory[startIndex]里已经被赋值了，直接用memory[startIndex]的结果。
方法二：背包问题
单词就是物品，字符串s就是背包，单词能否组成字符串s，就是问物品能不能把背包装满。拆分时可以重复使用字典中的单词，说明就是一个完全背包！
利用动规五部曲进行分析：
1.确定dp数组及其下标的含义：
dp[i] : 字符串长度为i的话，dp[i]为true，表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词。
2.确定递推公式：
如果确定dp[j] 是true，且 [j, i] 这个区间的子串出现在字典里，那么dp[i]一定是true。（j < i ）。所以递推公式是：if([j, i] 这个区间的子串出现在字典里 && dp[j]是true) 那么 dp[i] = true。
3.初始化dp数组：
有递推公式可知，dp[i]的值要依赖dp[j]，因此dp[0]是dp数组后面所有值的基础，必须为true，其它下标先初始化为false;
4.确定遍历顺序：
对于一个有子串组成的字符串，各子串的前后位置不同会使构成的字符串不同，相当于往背包中放物品的顺序有要求，因此是排列问题。
既然是排列问题，那么就要先遍历背包，再遍历物品。
5.打印dp数组：
以输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"]为例，dp状态如图：
算法实现
class Solution {
public:
bool wordBreak(string s, vector& wordDict) {
unordered_set wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());
vector dp(s.size() + 1, false);
dp[0] = true;
for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
string word = s.substr(j, i - j);
if (wordSet.find(word) != wordSet.end() && dp[j]) {
dp[i] = true;
}
}
}
return dp[s.size()];
}
}; 多重背包理论基础
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思路
有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。
多重背包实际就是0-1背包的变形，因为每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。
算法实现
# include
using namespace std;
int main() {
int bagweight, n;
cin >> bagweight >> n;
vector weight(n, 0);
vector value(n, 0);
vector nums(n, 0);
for (int i = 0; i < weight.size(); i++) cin >> weight[i];
for (int i = 0; i < value.size(); i++) cin >> value[i];
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) cin >> nums[i];
vector dp(bagweight + 1, 0);
for (int i = 0; i < n; i++){
for (int j = bagweight; j >= weight[i]; j--){
// 以上为0-1背包，再加一个for循环遍历个数
for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) {
dp[j] = max(dp[j - k * weight[i]] + k * value[i], dp[j]);
}
}
}
cout << dp[bagweight] << endl;
} 背包问题总结
前言
这几天学的背包问题主要有三种：0-1背包、完全背包、多重背包。
这三种背包问题的主要区别在于：0-1背包问题所有物品只有一件，每件物品至多只能存取一次；而完全背包问题所有物品都有无限件，可以对任意满足条件的背包取用任意次；多重背包问题每件物品都有一定的数量。
对于背包问题，尤其要注意动规五部曲中第二步——确定递推公式和第四步——确定遍历顺序。
背包递推公式
问能否能装满背包（或者最多装多少）：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
问装满背包有几种方法：dp[j] += dp[j - nums[i]] ，对应题目如下：
问背包装满最大价值：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
问装满背包所有物品的最小个数：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
遍历顺序
0-1背包
二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。而解一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。
完全背包
纯完全背包的一维dp数组实现，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
如果求最小数，那么两层for循环的先后顺序就无所谓了。