AcWing算法学习笔记：贪心（区间问题 + Huffman树 + 排序不等式 + 绝对值不等式 + 推公式）

一、区间问题

①区间选点

算法
将所有区间的右端点从小到大排序
遍历所有的区间
若该区间内没有点（左端点大于标记值），则将该区间的右端点设为新的标记值，并且点数加一
若这个区间有点，则不处理，跳过该区间
代码

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

struct Range
{
    int l, r;
    bool operator<(const Range &w)
    {
        return r < w.r;
    }
}range[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        range[i] = {a, b};
    }
    
    sort(range, range + n);
    
    int p = -2e9;
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        if (range[i].l > p)
        {
            res ++;
            p = range[i].r;
        }
    }
    cout << res;
    return 0;
}

②最大不相交区间数量

该题的算法与代码同上

③区间分组

算法
将所有区间按照左端点从小到大排序
遍历所有的区间
使用小根堆存储每个组最后一个区间的右端点值
如果当前区间的左端点 <= 堆中最小右端点
说明该区间不能放进任何一个分组，则将这个区间加入堆（新开一组）
如果当前区间左端点 > 堆中最小右端点
说明该区间能够放进任意一个组中，则将其放入右端点最小的组
将右端点最小的组的右端点更新
代码

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

struct Range
{
    int l, r;
    bool operator<(const Range &w)
    {
        return l < w.l;
    }
}range[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        range[i] = {a, b};
    }
    sort(range, range + n);
    priority_queue <int, vector<int>, greater<int>> heap;
    
    int p = -2e9;
    for (int i= 0; i < n; i ++)
    {
        if (heap.empty() || heap.top() >= range[i].l)
        {
            heap.push(range[i].r);
        }
        else
        {
            heap.pop();
            heap.push(range[i].r);
        }
    }
    cout << heap.size();
    return 0;
}

④区间覆盖

算法
将所有区间按照左端点从小到大进行排序
遍历所有的区间
寻找覆盖st的所有区间中右端点最大的区间
并将该区间的右端点更新st，区间数量加一
若没有找到能够覆盖st的区间，则无解
若最后区间没有被覆盖完，则无解
代码

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

struct Range
{
    int l, r;
    bool operator<(const Range &w)
    {
        return l < w.l;
    }
}range[N];

int main()
{
    int st, ed;
    cin >> st >> ed;
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        range[i] = {a, b};
    }
    
    sort(range, range + n);
    
    bool f = false;
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int p = -2e9;
        int j = i;
        while (j < n && range[j].l <= st)
        {
            p = max(p, range[j].r);
            j ++;
        }
        if (p < st)
        {
            break;
        }
        if (p >= st)
        {
            st = p;
            res ++;
        }
        if (p >= ed)
        {
            f = true;
            break;
        }
        i = j - 1;
    }
    if (f) cout << res;
    else cout << -1;
    return 0;
}

二、Huffman树（合并果子）

算法
每次选取最小的两个数字进行合并
代码

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 10010;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    priority_queue <int, vector <int>, greater<int>> heap;
    
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        heap.push(x);
    }
    
    int res = 0;
    
    while (heap.size() > 1)
    {
        int a = heap.top();heap.pop();
        int b = heap.top();heap.pop();
        res += (a + b);
        heap.push(a + b);
    }
    cout << res;
    return 0;
}

三、排序不等式（排队打水）

算法
根据打水时间从小到大排队，即总的等待时间最短
代码

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int N = 100010;

int a[N];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    sort(a, a + n);
    
    long long res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++) res += a[i] * (n - i - 1);
    cout << res;
    return 0;
}

四、绝对值不等式（货仓选址）

算法
如果有奇数个仓库，那么将地址选在中间那个仓库点就是距离最近的
如果有偶数个仓库，那么将地址选在中间两个仓库间的任何一点都是最近的
综上，选在n/2这个点即可涵盖上述两种情况
代码

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;
int a[N];
int n;

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    
    sort(a, a + n);
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++) res += abs(a[i] - a[n / 2]);
    cout << res;
    return 0;
}

五、推公式（耍杂技的牛）

算法
题目要考虑如何排序使得答案最小，可以尝试交换其中两头牛的位置
看看答案有什么影响，得出其中的公式，得到最优解

根据w + s 从小到大进行排序，得到的最大的风险系数最小
代码

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
typedef pair <int, int> PII;
const int N = 50010;

PII a[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int w, s;
        cin >> w >> s;
        a[i] = {w + s, s}; //第二个关键字是能力或体重都可以
    }
    
    sort(a, a + n);
    
    int res = -2e9, sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int s = a[i].second, w = a[i].first - s;
        res = max(res, sum - s);
        sum += w;
    }
    cout << res;
    return 0;
}