欧拉函数 笔记 2

莫比乌斯函数

大于 1 的正整数，只要有平方因子，那么其莫比乌斯函数值就为 0 。

$f(n)=\{\begin{array}{c}1n=1\\ (-1{)}^{r}nn=p1\ast p2\ast p3\ast ...\ast pr\\ 0else\end{array}$

莫比乌斯函数是积性函数

莫比乌斯函数被称$\mu (n)$

${\sum }_{d|n}\mu (d)=[n=1]=$$\{\begin{array}{c}1n=1\\ 0else\end{array}$

时间复杂度$O(\sqrt{n})$

莫比乌斯与欧拉

题目描述

给定 $n$,$T$，每次在区间 $[1,n]$ 中选一个数 $x$，请输出 $\mu (x)$ 或 $\varphi (x)$

输入描述

第一行两个正整数 $n,T$ $(1\le n,T\le 106)$

接下来 $T$ 行，每行两个整数 $opt,x(1\le opt\le 2,1\le x\le n)$，如果 $opt=1$，请输出 $\mu (x)$，否则请输出 $\varphi (x)$

输出描述

如题

样例输入

10 5 1 4 2 7 1 7 2 3 2 9

样例输出

0 6 -1 2 6

#include
using namespace std;
long long ola[1000005],mu[1000005],prime[1000005],st[1000005];
int n,t,opt,x,cnt;
void fun(){
	mu[1]=1;
	st[1]=1;
	ola[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!st[i]){
			prime[cnt++]=i;
			mu[i]=-1;
			ola[i]=i-1;
		}
		for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
			st[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				mu[i*prime[j]]=0;
				ola[i*prime[j]]=ola[i]*prime[j];
				break;
			}
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			ola[i*prime[j]]=ola[i]*ola[prime[j]];
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&t); 
	fun();
	while(t--){
		scanf("%d%d",&opt,&x);
		if(opt==1){
			printf("%lld\n",mu[x]);
		}
		else{
			printf("%lld\n",ola[x]);
		}
	}
    return 0;
}

欧拉函数的性质

1.若n是素数，$\varphi (n)=n-1$
2.若$n=p^k,\varphi (n)=p^k-p^{k-1}$
3.若n是奇数，$\varphi (2n)=\varphi (n)$

欧拉定理

$a^{\varphi (m)}\equiv 1(modm)$
$a^b\equiv a^{bmod\varphi (p)}(modp)$
$a^b\equiv \{\begin{array}{c}{a}^{b}b<\varphi (m)\\ a^{(bmod\varphi (m))+\varphi (m)}b\le \varphi (m)\end{array}modm$

【模板】欧拉降幂

P5091 【模板】扩展欧拉定理

题目描述

求：
$a^b(modm)$

输入描述

三个正整数 $a,m,b(1\le a\le 109,1\le m\le 108,1\le b\le 1020000000)$

输出描述

输出计算结果

样例1输入

2 7 4

样例1输出

2

样例2输入

998244353 12345 98765472103312450233333333333

样例2输出

5333

#include
using namespace std;
long long n,t,b,cnt,a,m;
string s;
long long downpow(long long phi){
	int len=s.size();
	long long x=0;
	bool flag=0;
	for(int i=0;i<len;i++){
		x=x*10+s[i]-'0';
		if(x>=phi){
			x%=phi;
			flag=1;
		}
	}
	if(flag){
		x+=phi;
	}
	return x;
}
long long ksm(long long k,long long o){
	long long ans=1;
	while(o){
		if(o&1){
			ans*=k;
			ans%=m;
		}
		o>>=1;
		k*=k;
		k%=m;
	}
	return ans;
}
long long fun(long long k){
	long long h=sqrt(k);
	long long ans=k;
	for(int i=2;i<=h;i++){
		if(k%i==0){
			ans=ans/i*(i-1);
			while(k%i==0){
				k/=i;
			}
		}
	}
	if(k>1){
		ans=ans/k*(k-1);
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld",&a,&m);
	cin>>s;
	printf("%lld\n",ksm(a,downpow(fun(m))));
	
    return 0;
}