[CSP2023]小苹果-详解

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去年10月21日，CCF csp-j组竞赛举办。据各地考生的反响，第一题就不容小觑。

那咱们来会会这道题吧。

题目大赏

（链接自洛谷网）

作为J组竞赛的第一题，他肯定不可能考：

树、图、集合……

好巧不巧，这道题就是一道朴实无华的数学题；

但是又有几个人聪明得想到了这点？包括我还是用模拟写的。

所以那有的人肯定开了数组。

不错，开个数组，int n[1000000086];

我做了个实验。

输入如下代码

#include
using namespace std;
int n[1000000086];
int main()
{
    return 0;
}

 提交一下，发现如下界面

意思就是说无法生成可执行程序。

 咱们可以算一下。

一个int字节占空间2Byte，那么开上10的9次方以上的空间，相乘再进行单位换算。那么，最后算得的总占地为1.86G左右。

很明显已经超了。

但细看……

再看， 只有那么一个点是10的9次方，如果你按照相对最大的第9个点，按10的6次方开100086个的话管够。

如果你这样开数组的话，只要你模拟对了，90分就没问题；但是如果你想再争取10分，不好意思，一分也没了[旺柴]（虽然我这道题也一分没得）

模拟的思路不多说，但这道题怎么就能用数学思路解呢？

咱们来想

1.拿取时数量是怎么减少的？

从第一个开始，每隔两个拿一个，也就相当于：从第一个开始三人按序分组（多出来的先不管），每组的第一个就拿走；所以有几个整组，起码就拿几个。至于分剩下的那一个或两个，起码比一个多，所以肯定还有一个；如果没有分剩下的，那就不说了。（实际上可以看成是苹果个数的向上舍入，请想一想为什么）

所以若以n表示苹果个数的话，那应该是一个n-=ceil(n*1.0/3)的循环迭代，直到苹果树为零时停止的过程。请注意这个乘1.0，因为它可以使n*1.0成为一个浮点数，而在c++中，整数相除时，商一般会截断（舍弃小数部分）。

所以

#include
using namespace std;
int main()

先把这一串写上；

然后定义n和两个天数计算器（我一般喜欢分开整，不喜欢同时计算），千万记得初始化！

然后设计输入n；

这就完了。

int n;
int d1=0,d2=0;
cin>>n;
while(n) n-=ceil(n*1.0/3),d1++;

你已经完成了一半了。

那么，下一步，思考

2.什么样的苹果能够被取到？

“小苞第一天拿走了编号为 1、4、7 的苹果。”

很明显，这些苹果的编号都是3a+1（n为正整数）的。

但是第二天，“小苞第二天拿走了编号为 2、6 的苹果。”

好像没什么规律。但请看下表

原来的苹果标号	第一次取走的苹果	重新给苹果排号	再取苹果
1	√
2		1	√
3		2
4	√
5		3
6		4	√
7	√
8		5

很明显，这个3a+1的规律满足每次取完苹果后的重新排号。

所以仍然是这个公式n-=ceil(n*1.0/3)，只要当n是"3a+1"这种数，我就可以停止循环，取走最后一个苹果了。

所以上代码

所以再把最后一部分写完

while(n%3!=1) n-=ceil(n*1.0/3),d2++;

但是请注意两个问题：

1.如果这样写，那么当到了该取走最后一个苹果那天，已经检测到当前的苹果数量为“3a+1式，循环直接停止，但日期还未更新，所以要使此处的“d2”从1开始迭代或在输出当中加1；

2.第一次循环之所以可以停止，是因为n已经等于0了，若不更新值直接把0带进去，那第二个循环就是恒循环（请各位实验一下） ，所以需要另设一个m存放同一个值，将其作为第二个循环的用品。

所以上代码

#include
using namespace std;
int main()
{
    int n, m, d1 = 0, d2 = 0;
    cin >> n;
    m = n;
    while (n)    n -= ceil(n * 1.0 / 3), d1++;
    while (m % 3 != 1)    m -= ceil(m * 1.0 / 3), d2++;
    cout << d1 << " " << ++d2;
    return 0;
}

篇后问题

这道题的模拟方法，欢迎发在讨论区。