数据结构与算法学习01之前缀表达式(波兰表达式)、中缀表达式、后缀表达式(逆波兰表达式)

前缀表达式(波兰表达式)

  1. 概念:前缀表达式的运算符位于操作符之前
  2. 举例:(3+4)*5-6,对应的前缀表达式就是 - * + 3 4 5 6
  3. 前缀表达式的计算机求值:
    从右至左扫描表达式,遇到数字时,将数字压入堆栈,遇到运算符时,弹出栈顶的两个数,用运算付对它们做相应的计算(栈顶元素和次顶元素),并将结果入栈:重复上述过程知道表达式最左端,最后运算得出的值即为表达式的结果。
    例如:(3+4)*5-6对应的前缀表达式就是- * + 3 4 5 6,针对前缀表达式求值步骤如下:
    • 从左至右扫描,将6、5、4、3压入堆栈
    • 遇到 + 运算符,因此弹出3和4(3为栈顶元素,4为次顶元素),计算出3+4的值,得7,再将7入栈
    • 接下来是 * 运算符,因此弹出7和5,计算出7x5=35,将35入栈
    • 最后是 - 运算符,计算出35-6的值,即29,由此得出最终结果
  4. 注意:生成的前缀表达是不是简单得将运算符写在前面,而是有运算顺序地写在表达式的前面,优先运算的运算符处于运算符的右边。

中缀表达式

  1. 概念:中缀表达式就是常见的运算表达式,也就是运算符位于数字的中中间的表达式
  2. 举例:如(3+4)*5-6就是一个中缀表达式
  3. 中缀表达式的求值是我们人最手洗的,但是对于计算机来说却不好操作,因此,在计算结果时,往往会将中缀表达式转成其他表达式来操作(一般转成后缀表达式)

后缀表达式(逆波兰式)

  1. 概念:运算符位于操作数之后
  2. 举例:如(3+4)*5-6的后缀表达式就是3 4+ 5 * 6 -
  3. 符号的优先级高的靠在式子的左边,需要操作的两个数则位于运算符的左边。
  4. 后缀表达式的计算机求值
    从左至右扫描表达式,遇到数字时,将数字压入堆栈,遇到运算符时,弹出栈顶的两个数,用运算符对它们做相应的计算(次顶元素和栈顶元素),并将结果入栈:重复上述过程直到表达式最右端,最后运算得出的值即为表达式的结果
  5. 例如(3+4)*5-6对应的前缀表达式就是3 4 + 5 * 6 -,针对后缀表达式求值步骤如下:
    • 从左至右扫描,将3和4压入堆栈:
    • 遇到+运算符,因此弹出4和3(4为栈顶元素,3为次顶元素),计算出3+4的值,得7,再将7入栈
    • 将5入栈
    • 接下来是 * 运算符,因此弹出5和7,计算出7*5=35,将35入栈
    • 将6入栈
    • 最后是 - 运算符,计算出35-6的值,即29,由此得出最终结果。

中缀表达式转换为后缀表达式

  1. 介绍:显然对于计算机来说后缀表达式更为友好,但是对于人来说,后缀表达式就不太友好了,所以我们希望我们用中缀表达式输入,然后计算机自动转换为后缀表达式,进行计算。
  2. 实现:
    • 初始两个栈:运算符栈s1和存储中间结果的栈s2;
    • 从左至右扫描中缀表达式
    • 遇到操作数时,将其压s2;
    • 遇到运算符时,比较其与s1栈顶运算符的优先级
      • 如果s1为空,或栈顶运算符为左括号"(",则直接将此运算符入栈;
      • 否则,若将优先级比栈顶运算符的高,也将运算符压入s1;
      • 否则,将s1栈顶的运算付弹出并压入s2中,再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较
    • 遇到括号时:
      • 如果是左括号"(",则直接压入s1
      • 如果是右括号")",则依次弹出s1栈顶的运算符,并压入s2,知道遇到左括号为止,此时将这一堆括号丢弃
    • 重复步骤2-5,知道表达式的最右边
    • 将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2
    • 一次弹出s2中的元素并输出,结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式

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