⭐算法入门⭐《队列 - 单调队列》困难03 —— LeetCode 862. 和至少为 K 的最短子数组

一、题目

1、题目描述

  返回数组 $A$ 的最短的非空连续子数组的长度，该子数组的和至少为 $K$。如果没有和至少为 $K$ 的非空子数组，返回 $-1$。
  样例输入： A = [1,4,-5,6,5,-7,-3,11,-5,-1,-1,8,-6,5,-4,3], K = 13
  样例输出： 9

2、基础框架

• C语言 版本给出的基础框架代码如下：

int shortestSubarray(int* nums, int numsSize, int k){
}

3、原题链接

LeetCode 862. 和至少为 K 的最短子数组

二、解题报告

1、思路分析

  1）令 $sum[i]$ 代表 $A[i]$ 的前缀和，对于一段左开右闭子数组 $(t,i]$， $sum[i]-sum[t]$ 就是这段子数组的和，其中 $-1\le t<i$，并且必须满足数组和 $sum[i]-sum[t]\ge K$。
  2）对于两个下标 $t_1<t_2$， 如果 $sum[t_1]\ge sum[t_2]$，则 $sum[t_1]$ 不会比 $sum[t_2]$ 更优，所以，我们只需要维护一个 $sum$ 值单调递增的单调队列；
  3）单调队列的队首一定是 $sum$ 值最小的，$sum[i]-sum[queuefront]\ge K$，则记录 $i-queuefront$ 作为一个候选解，并且弹出队首；
  4）然后只需要枚举 $i$，维护 $sum[i]$ 的单调队列，且单调队列插入的是前缀和的下标值，候选最优值 $i-queuefront$ 用于和最终最优值进行比较取小者；

2、时间复杂度

   单调队列进出是 $O(n)$，枚举下标的过程和单调队列的进出无关，也是 $O(n)$。所以，总的时间复杂度为 $O(n)$。

3、代码详解

/**************************** 顺序表 实现双端队列 ****************************/
#define DataType int
#define maxn 100005

struct Queue {
    DataType data[maxn];
    int head, tail;
};

void QueueClear(struct Queue* que) {
    que->head = que->tail = 0;
}
void QueueEnqueue(struct Queue *que, DataType dt) {
    que->data[ que->tail++ ] = dt;
}
void QueueDequeueFront(struct Queue* que) {
    ++que->head;
}
void QueueDequeueRear(struct Queue* que) {
    --que->tail;
}

DataType QueueGetFront(struct Queue* que) {
    return que->data[ que->head ];
}
DataType QueueGetRear(struct Queue* que) {
    return que->data[ que->tail - 1 ];
}
int QueueGetSize(struct Queue* que) {
    return que->tail - que->head;
}
int QueueIsEmpty(struct Queue* que) {
    return !QueueGetSize(que);
}

/**************************** 顺序表 实现双端队列 ****************************/

struct Queue q;
int sum[maxn];

int getValue(int index) {
    if(index == -1) {
        return 0;
    }
    return sum[index];
}

int shortestSubarray(int* nums, int numsSize, int k){
    int i;
    int len, minlen;
    for(i = 0; i < numsSize; ++i) {
        sum[i] = nums[i];
        if(i)
            sum[i] += sum[i-1];
    }
    QueueClear(&q);
    QueueEnqueue(&q, -1);                 // (1)

    minlen = numsSize + 1;
    for(i = 0; i < numsSize; ++i) {
        
        while(!QueueIsEmpty(&q) && getValue( QueueGetRear(&q) ) >= getValue(i))
            QueueDequeueRear(&q);         // (2)
        
        while(!QueueIsEmpty(&q) && getValue(i) - getValue( QueueGetFront(&q) ) >= k) {
            len = i - QueueGetFront(&q);
            if (len < minlen) {
                minlen = len;             // (3)
            }
            QueueDequeueFront(&q);
        }
        QueueEnqueue(&q, i);
    }
    return minlen == numsSize + 1 ? -1 : minlen;
}

• $(1)$ 相当于插入一个 $sum[-1]$;
• $(2)$ 保证一个单调递增的队列；
• $(3)$ 找到一个可行解；

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三、本题小知识

单调队列的问题一般都是配合前缀和来求解。

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