[数据结构与算法]贪心算法(原理+代码)

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目录

一、什么是贪心算法

贪心算法的一般流程如下:

二、常见应用算法

Prim算法:贪心算法的一种常见应用是Prim算法。Prim算法的基本思想是从一个初始顶点开始,每次选择一条边,将一个新的顶点纳入生成树中,直到所有的顶点都被纳入生成树。

活动选择问题(Activity Selection Problem):

三、小结:

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一、什么是贪心算法

贪心算法(Greedy Algorithm)是一种在每一步选择中都采取当前状态下最优解的策略,希望通过一系列局部最优的选择最终达到全局最优。贪心算法通常用于优化问题,其中在每个阶段都做出局部最优的选择,希望通过这种方式达到全局最优解。

贪心算法的主要特点是它对解的选择没有显式的规定,而是通过一系列的局部选择来达到整体最优。每一步都选择当前状态下的最优解,而不考虑未来的影响。 

贪心算法的一般流程如下:

  1. 问题建模: 将问题抽象成一系列的局部最优选择。
  2. 选择策略: 确定每一步的选择策略,即如何在当前状态下做出最优的选择。
  3. 解决问题: 通过贪心策略逐步解决问题,直到达到全局最优解或者近似最优解。

虽然贪心算法在一些问题中非常有效,但并不是所有问题都适合使用贪心算法。在某些情况下,贪心算法可能无法得到全局最优解,因为它不进行回溯。因此,在使用贪心算法时,需要仔细分析问题的特性,确保贪心策略能够达到预期的最优解。典型的贪心算法应用包括最小生成树、单源最短路径、任务调度等。

二、常见应用算法

Prim算法:贪心算法的一种常见应用是Prim算法。Prim算法的基本思想是从一个初始顶点开始,每次选择一条边,将一个新的顶点纳入生成树中,直到所有的顶点都被纳入生成树。

#include 
#include 
using namespace std;

#define V 5  // 顶点数

int minKey(int key[], bool mstSet[]) {
    int min = INT_MAX, min_index;

    for (int v = 0; v < V; v++) {
        if (!mstSet[v] && key[v] < min) {
            min = key[v];
            min_index = v;
        }
    }

    return min_index;
}

void printMST(int parent[], int graph[V][V]) {
    cout << "Minimum Spanning Tree (Prim):" << endl;
    for (int i = 1; i < V; i++)
        cout << "Edge: " << parent[i] << " - " << i << " Weight: " << graph[i][parent[i]] << endl;
}

void primMST(int graph[V][V]) {
    int parent[V];
    int key[V];
    bool mstSet[V];

    // 初始化所有键值为无穷大,都未包含在生成树中
    for (int i = 0; i < V; i++) {
        key[i] = INT_MAX;
        mstSet[i] = false;
    }

    // 选择第一个顶点作为起始点
    key[0] = 0;
    parent[0] = -1;

    for (int count = 0; count < V - 1; count++) {
        int u = minKey(key, mstSet);

        mstSet[u] = true;

        for (int v = 0; v < V; v++) {
            if (graph[u][v] && !mstSet[v] && graph[u][v] < key[v]) {
                parent[v] = u;
                key[v] = graph[u][v];
            }
        }
    }

    printMST(parent, graph);
}

int main() {
    int graph[V][V] = { {0, 2, 0, 6, 0},
                        {2, 0, 3, 8, 5},
                        {0, 3, 0, 0, 7},
                        {6, 8, 0, 0, 9},
                        {0, 5, 7, 9, 0} };

    primMST(graph);

    return 0;
}

执行结果:

[数据结构与算法]贪心算法(原理+代码)_第1张图片

活动选择问题(Activity Selection Problem):

假设有一个教室,需要安排一系列活动,每个活动都有一个开始时间和结束时间。活动之间不能重叠,即同一时间教室只能进行一个活动目标是选择尽可能多的活动使得它们不会相互冲突,即在给定时间内进行尽可能多的非重叠活动。 

C++代码:

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

// 首先声明一个活动结构体,包含活动开始时间和结束时间两个变量
struct Activity {
    int start, finish;
};

// 按照活动结束时间升序排序的比较函数
bool compare(Activity a, Activity b) {
    return (a.finish < b.finish);
}

// 贪心算法解决活动选择问题
void printMaxActivities(Activity activities[], int n) {
    // 按照结束时间升序排序
    sort(activities, activities + n, compare);

    cout << "Selected Activities:\n";

    // 第一个活动总是被选中
    int i = 0;
    cout << "(" << activities[i].start << ", " << activities[i].finish << "), ";

    // 遍历剩余活动
    for (int j = 1; j < n; j++) {
        // 如果当前活动的开始时间大于等于上一个选中活动的结束时间,选择当前活动
        if (activities[j].start >= activities[i].finish) {
            cout << "(" << activities[j].start << ", " << activities[j].finish << "), ";
            i = j;
        }
    }
}

int main() {
    // 示例活动数据(活动开始实践和结束时间)
    Activity activities[] = {{1, 2}, {3, 4}, {0, 6}, {5, 7}, {8, 9}, {5, 9}};
    int n = sizeof(activities) / sizeof(activities[0]);

    // 调用贪心算法解决活动选择问题
    printMaxActivities(activities, n);

    return 0;
}

活动按照结束时间升序排序,然后使用贪心算法选择尽可能多的不重叠活动。这个算法的时间复杂度为O(n log n),其中n是活动的数量。 

执行结果:

[数据结构与算法]贪心算法(原理+代码)_第2张图片

三、小结:

1. 基本思想:

  • 贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最优解的策略,希望通过一系列局部最优的选择达到全局最优。
  • 贪心策略通常不进行回溯,一旦做出选择就不再改变。

2. 适用条件:

  • 问题具有最优子结构性质:问题的最优解可以通过子问题的最优解推导得到。
  • 贪心选择性质:每一步的选择都是当前状态下的最优解,即局部最优。

3. 过程步骤:

  • 建模: 将问题抽象成一系列局部最优的选择。
  • 选择策略: 确定每一步的选择策略,即如何在当前状态下做出最优的选择。
  • 解决问题: 通过贪心策略逐步解决问题,直到达到全局最优解或者近似最优解。

4. 优缺点:

  • 优点: 算法简单、高效,适用于一些问题,尤其是最优子结构和贪心选择性质明显的情况。
  • 缺点: 不适用于所有问题,可能得不到全局最优解,只能得到局部最优解或者近似最优解。

5. 注意事项:

  • 贪心算法的适用性需要仔细分析问题的性质,确保贪心策略能够达到预期的最优解。
  • 在一些问题中,贪心算法可以作为求解问题的一部分,而不是整个问题的解决方案。

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