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微分几何——梅向明第四版学习笔记（二） & 曲面论、外微分形式和活动标架

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目录

  • 引出
  • 曲面论
    • 曲面的概念
    • 曲面的切平面和法线
    • 曲面的第一基本形式
      • 曲面域的面积
    • 曲面的第二基本形式
      • 曲面上曲线的曲率
      • 曲面的渐进方向
      • 曲面的共轭方向
      • 曲面的主方向和曲率线
    • 曲面的三个曲率
      • 主曲率
      • 高斯曲率，平均曲率
      • 案例
    • 曲面在一点邻近的结构
    • 曲面的第三基本形式
      • 高斯曲率的几何意义
    • 直纹面和可展曲面
      • 曲面论的基本定理
    • 曲面上的测地线【重要】
    • 高斯波涅公式Gauss-Bonnet公式【重要】
    • 曲面上向量的平行移动
    • 常高斯曲率的曲面
  • 外微分形式和活动标架
    • 格拉斯曼代数
    • 活动标架法
      • 用活动标架法研究曲面
    • 曲面的基本形式
    • 曲面上的曲线，法曲率，测地曲率，测地挠率
    • 闭曲面的高斯-波涅公式【重要】
      • 测地多边形
  • 总结

引出

微分几何——梅向明第四版学习笔记（一） & 向量函数和曲线论

曲面论

曲面的概念

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曲面的参数方程

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案例：

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曲纹坐标网

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曲面的切平面和法线

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曲面某点的切平面

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曲面某点的法线

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案例：

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曲面的第一基本形式

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案例：

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曲面域的面积

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曲面的第二基本形式

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上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻画了曲面在空间中的弯曲性

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案例：

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曲面的特殊的参数表示情形

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案例：

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曲面上曲线的曲率

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由以上的讨论我们已经了解到曲面在已知点邻近的弯曲性可以由曲面离开它的切平面的快慢来决定.但是曲面在不同的方向弯曲的程度不同，也就是说在不同的方向曲面以不同的速度离开切平面.因此，当我们想刻画曲面在已知点邻近的弯曲性时，就需要用曲面上过该点的不同的曲线的曲率来进行研究.

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案例：

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Dupin指标线

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曲面的渐进方向

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曲面的共轭方向

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曲面的主方向和曲率线

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曲面的三个曲率

主曲率

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高斯曲率，平均曲率

高斯曲率和平均曲率

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案例

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曲面在一点邻近的结构

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1.椭圆点：

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2.双曲点：

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3.抛物点：

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曲面的第三基本形式

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高斯曲率的几何意义

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直纹面和可展曲面

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可展曲面

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曲面论的基本定理

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曲面的黎曼(Riemann)曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪(Gauss-Codazzi-Mainardi)公式

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案例：

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曲面论基本定理：

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曲面上的测地线【重要】

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曲面上的测地线：

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测地线是短程线

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高斯波涅公式Gauss-Bonnet公式【重要】

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推论：

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曲面上向量的平行移动

曲面上的向量及其平行移动

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平行移动的性质

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常高斯曲率的曲面

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案例：

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外微分形式和活动标架

格拉斯曼代数

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活动标架法

活动标架法是微分几何中研究空间图形的方法，它的特点是把图形的研究安排好一定的程序，然后有步骤地去分析图形的性质

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案例：

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用活动标架法研究曲面

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曲面的基本形式

曲面的第一基本形式：

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曲面的第二基本形式

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曲面的第三基本形式

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曲面上的曲线，法曲率，测地曲率，测地挠率

主曲率：

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平均曲率：

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高斯曲率：

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闭曲面的高斯-波涅公式【重要】

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特别地，如果区域G的边缘时测地线，则Kg=0

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测地多边形

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案例：

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总结

微分几何——梅向明第四版学习笔记（一） & 向量函数和曲线论

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    概述此文总结开发中用到的一些常用组件，便于查阅，此文持续更新，闲的没事就更线性布局（Row/Column）不多介绍了，最常用的布局组件，两者除了方向不一样，别的都一样方便起见下面只写Column常用属性排列方向上的间距：spaceColumn({space:20}){Row().width('90%').height(50).backgroundColor(0xF5DEB3)Row().width
  • 2019-07-16 振华老凤祥店长崔宁宁
    大爱的李老师，智慧的教授，亲爱的跃友们：大家好！我是莱州鑫和金店李总的人～崔宁宁今天是我的日精进行动第56天，我分享一下今天的改变，我们相互勉励，每天进步一点点，离成功便不远。1、比学习：人这一生最主要的就是信念，坚定不移的信念是成功路上的重要基石！2、比改变：我是一切的根源，我变了世界就变了！改变自己的心态！3、比付出：承担才能成长，付出才会杰出！4、比谦卑：学习每位优秀店长身上的优点！5、比感
  • python清华大学出版社答案_Python机器学习及实践 weixin_39805119 python清华大学出版社答案
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  • 2018-12-02 子分小
    姓名：张颖公司：菲尔德国际英语【反省总结第146天，始于20180709今天是20181202】【知～学习】六项精进大纲背诵3遍每天十个单词坚持第181天每天学习一篇英文文章第94天英语流利说课程第71天学习30分钟【行～实践】一、修身：（对自己个人）步行5000步二、齐家：（对家庭和家人）无三、建功：（对工作)完成与Arti活动课和两节Demo准备开班事宜｛积善｝：发愿从2018年7月9日起1年
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    不爱写字，一张图解决。Handler,Message,MessageQueue,Looper工作原理
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    六项精进训练营Day2复盘20210112湖北荆州学习靠氛围，成长靠圈子1.关于金钱认知金句：1.当今世界，非钱不行2.有钱能使鬼推磨3.金钱是万恶之本4.时间就是金钱5.金钱不是万能的，但是没有钱是万万不能的6.谈钱伤感情，谈感情伤钱道德系统→好人→美德→回流利益系统→好好生活天下熙熙皆为利来，天下攘攘皆为利往出自西汉著名史学家、文学家司马迁《史记》的第一百二十九章“货殖列传”。这句话意思是说天
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    主题：我缺乏的东西自从加入2022年弘丹写作学院，感觉每天的生活都忙碌了起来，我要上班，要学习。所以我每天都必须拼尽全力向前奔跑，才追得上小伙伴们的脚步。在写作学院，我学会了反省自己的不足，我的想法多，缺乏的东西也太多。比如：写作的文笔，写作逻辑，底层自信心……看到社群里那么多优秀的小伙伴，我感觉自己越来越自卑，我这么一个平庸的人，会完成今年的写作目标吗？我开始不停怀疑自己是否能坚持下去。而弘丹老
  • 2021-04-11 英英成长日记
    （1）每天写50字以上的催眠语言肯定自己或孩子或爱人今天的公益沙龙第二期，你有充分的准备！所以一切都很顺利！你还可以更灵活，我相信你可以做到！你是一个有爱的人！爱能成就一切！加油！分享也是成长！你说对吗？（2）每天晚上跟潜意识沟通一次。谢谢你潜意识，今天支持我讲完两个小时沙龙！感恩你每天这样支持我成长学习！（3）每天学习三条时间管理方法，共100条。(4)自己想要坚持3件事（确定下来至少一件，坚持
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    观海年后上班，因为项目接近尾声甚是消闲。说是消闲，其实身消闲，心不消闲。都说当下社会是焦虑的社会，因为人们普遍焦虑。上班已有半月，想想这好像是上班几年来最空闲的一段时间了。空闲的主要原因是工作处在了瓶颈期，心有余而力不足。因为有一颗力求完美的心，但却没有力求完美的能力，所以徒有焦虑。不知道大家有没有这种感觉，在高压学习或工作一段时间之后，突然闲下来就会茫然无措。有时候读一本长篇，好不容易结束本来应
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    阴雨绵绵，潮湿的跑道拥挤着声声呐喊，一阵枪炮，运动员反弹似的往前冲去，同学举着旗在内侧冲刺，无数加油声此起彼伏，不同班服，不同名字。“再下一组就是好朋友了吧”我心想着，在人潮中穿行，寻找好友的身影，前方出现好友班级的班服，我轻轻戳戳那同学：“你好，你们班那两名同学多久出场啊？”那同学疑惑地瞥瞥我，弄得我有些脸红，可我希冀的目光扔帮我得到了答案。到他了，我无比激动地为他呐喊，旁边他的同学好奇的扭过头
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