微机原理：计算机中的数字与码制(5,6节课）

目录

简介

    1.1数制及其转换

    （1)十进制

      （2)二进制 

      （3)十六进制 

2.2 数制的转换 

       （1)十进制数转换成其他进制数

       (2)其他进制数转换成十进制数(位置加权法）

3.3二进制数的运算

1. 算术运算:

2. 逻辑运算 :

3.寄存器的出现原因：

4.有符号数的表示与运算:

1. 原码表示法:

 2. 补码表示法：

3. 有符号数运算的溢出问题：

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简介

数据是信息的载体，是计算机保存和处理的对象。微机中的信息包括数值数据和文字、

声音、图像、视频等非数值数据。计算机是典型的数字设备，它只能识别高低电平，分别

用“ 1 ”和“ 0 ”表示，即二进制，因此计算机中的各种信息，其表现形式无论是数值还是

非数值，都必须以二进制码的形式来表示。本节主要介绍数制及其转换、二进制数的运算、

有符号数的表示与运算、实数的表示、非数值数据的编码等内容

（计算机只识别二进制，用户写的10进制都要变成二进制才能被电脑识别）

    1.1数制及其转换

 1．数制

数制是人们利用一组固定的数码或符号来表示数的方法。数制中所使用的数码或符号 的个数称为数制的基数，例如，十进制用 10 个数字(0～9)表示，二进制用 2 个数字(0、1) 表示，十六进制用 10 个数字和 6 个符号(A、B、C、D、E、F)表示。某一数制表示的数中 每一位所处的级别称为权值，任意进制数 x 都可由其每一位数码及相应权值形成的多项式 来表示：

 其中，b 为基数； 为每一位的数码。可以看出数 x 包含整数 n＋1

位，小数 m 位，式( 1.1 )也称为数值的按权值展开。

    （1)十进制

日常生活中，人们通常使用十进制数[在数字后加“ D ”( Decimal )表示，也可省略]， 例如，257 369.2D 可以按式( 1.1)分别表示为

      （2)二进制 

        在计算机中，数值都是用二进制来表示的。二进制数可以用 0 ～ 1 数字后加 B ( Binary )

 表示，例如， 1010 1B 可以按权值展开成

   

      （3)十六进制 

        为书写表示方便，通常将 4 位二进制数看作 1 位十六进制数，这时用数字 0 ～ 9 和符号 A～ F 表示，并在十六进制数后加 H ( Hexadecimal )表示。在书写十六进制数时，如果最高 位是字符，则要在其前面加上 0 ，以便与标识符区别开来。这样我们有

                              0AH = 1010B ， 0BH = 1011B ， 0CH = 1100B

                              0DH = 1101B ， 0EH = 1110B ， 0FH = 1111B

十六进制数也可以表示成权值展开的形式

2.2 数制的转换 

       同一个数值可以用各种数制来表示，某一数值可在不同数制之间进行转换。

       （1)十进制数转换成其他进制数

将十进制数 N 分成两部分：整数部分 z 和纯小数部分 f 。设要将十进制数 z · f 转换成 b

进制数，则整数部分 z 采用除 b （b就是其他的进制数） 取余的方法，即

其中，Z1，Z2 ......Zn为商，y1,y2...yn为余数，[ ]表示取整运算,当Zn=0 时迭代过程终止，这样

得到的y1,y2...yn就是 b 进制数的各位数字， y 1 为最低位， y n 为最高位。

例 1.1 将十进制数 125 转换成二进制数。

解：转换过程为

 因此，125＝1111 101B。

纯小数部分 f 采用乘以 b 取整的方法，即

其中，r1,r2,...rm为取整的结果，f1,f2,f3...fm为小数部分。当 fm =0 时迭代过程终止，这样得到的

 r1,r2...rm就是 b 进制数的各位数字，r 1为最高位， rm 为最低位。

例 1.2 将十进制数 0.6875 转换成二进制数。

因此，0.6875＝0.1011B。 

       (2)其他进制数转换成十进制数(位置加权法）

      将任意进制数变换成十进制数，可以按照权值进行展开，例如：

3.3二进制数的运算

1. 算术运算:

为书写方便，经常将二进制数写成十六进制形式，因此这里主要讨论二进制数和十六

进制数的算术运算规则。二进制数加法运算采用逢二进一，减法运算采用借一做二；十六

进制数加法运算采用逢十六进一，减法运算采用借一做十六，在乘除法运算时，也采用类

似的规则。例如

2. 逻辑运算 :

二进制数的逻辑运算是位对位的运算，即本位运算结果不会对其他位产生任何影响，

这一点与算术运算是截然不同的。二进制数的逻辑运算有四种：与( AND )、或( OR )、异或

( XOR )和非( NOT )，其规则如表 1.1 所示。

例如：

1001 0111B — AND — 0011 1000B ＝ 0001 0000B

1001 0111B — OR — 0011 1000B ＝ 1011 1111B

1001 0111B — XOR — 0011 1000B ＝ 1010 1111B

利用逻辑运算可以完成特定的操作， AND 运算可以对指定位进行清零， OR 运算可以

对指定位进行置 1 ， XOR 运算可以对指定位进行取反。例如，对 x 的第 0 、 3 位清零操作：

x AND 1111 0110B ；对 x 的第 1 、 2 位置 1 操作： x OR 0000 0110B ；对 x 的第 3 、 7 位取反

操作： x XOR 10001000B 。

3.寄存器的出现原因：

 数据都放在外部的存储器中的话，每次cpu都要经过总线去取，取是要花时间的，所以，我们为了加快运算速度，在CPU内部设置寄存器来暂存一部分数据，寄存器数量越多，暂存的数据越多，我们运算的速度越快。寄存器输量越多，CPU体积越大，为了综合考虑，CPU内部设置了少量的寄存器。8086CPU是16位，内部的寄存器也是16位的，但是我们一般处理数据都是字节型的8位，所以16位寄存器也可以暂存8位数据，也可以有8位寄存器。两个8位合起来就是一个16位寄存器，

AH,AL,高八位，低八位寄存器，合起来也叫AX(16位寄存器）

8086CPU8位字节型寄存器就这八个。这八个也是唯一能拼接成16位寄存器的，

后面同理  BH+BL=BX    ......CX .......DX

4.有符号数的表示与运算:

利用二进制数来表示有符号数时，必须有一位用来表示符号位，一般采用最高位表示，

如图 1.3 所示。这样表示的数称为机器数，其实际值称为机器数的真值

1. 原码表示法:

       除符号位外，剩余 7 位就是真值的绝对位，这种表示方法称为原码表示法。例如，

＋ 1011 001B 表示成 0101 1001B ，－ 1011 001B 表示成 1101 1001B ，这种表示方法的优点是

直观，但加减运算时比较麻烦。例如，在对两个数进行加法运算时，应该先对其符号进行

判断，如果同号，则进行相加运算，如果异号，则实际上应该进行相减运算。

       另外，对于特殊值 0 有两种表示：＋ 0 表示成 0000 0000B ， –0 表示成 1000 0000B ，但

实际上， 0000 0000B 和 1000 0000B 表示同一个值 0

 2. 补码表示法：

计算机中有符号数采用二进制补码表示， x 的补码 [X]补 定义为

其中， n 为机器字长，这种计算一个数补码的过程称为求补运算。从式( 1.2 )可以看出，当

x 为正数时，其补码与原码一致，只有当 x 为负数时，才有求补码的问题。以 n = 8 为例，

＋ 12 的原码和补码表示均为 0000 1100B ，而 –12 的补码表示为 [–12] 补 = –12 + 2^ 8 = 244 =

1111 0100B 。需要注意的是，式( 1.2)等号右边的数按无符号数对待，即转换后的二进制数

最高位也表示数值。

如何理解补码的定义呢？其实补码的本质就是用全集中的补 集来表示负数。现以钟表上的时间为例来介绍补码，如图 1.4 所示。

1.4 钟表时间示意图

首先引入“模”的概念，“模”是指一个计量系统的计量范围，例如，钟表的计量范围为 0～11，即模为 12。现欲将时针调整到 9 点， 可以顺时针调整 9h，也可以逆时针调整 3h。若规定顺时针为正， 逆时针为负，则+9 和–3 的调整效果是相同的。也就是说，在模为 12 的系统中，凡是减 3 运算都可以用加 9 来代替，即–3 可以用+9 来表示因为它们互为补数，以此类推。

补码的定义是计算补码的主要方法，除了用定义求补码外，还有两种简便的计算方法。 

( 1 )由原码求补码。负数 x 的补码由其原码取反(符号位除外)再加 1 得到，即

如果对负数 x 的补码再求补码，则可以得到其原码表示，即

 

( 2 )由相反数求补码。对负数 x 求补码，可先求出 – x 的补码，然后按位取反(含符号位)

再加 1 ，即

例 1.3 求–15 的补码表示。

 

3. 补码运算规则

有符号数以补码形式表示以后，便可以将加减运算整合为统一的加法运算，具体运算

规则如下

该式表明：当两个有符号数采用补码形式表示时，加 /减法运算可以把符号位同数

值位一起参与运算（因为补码最高位是数值位）(若符号位（最高位）有进 / 借位，则丢掉)，其结果为两数之和 /差的补码表示。

例如：

(＋ 57 )＋(＋ 45 ) = 0011 1001B+0010 1101B=0110 0110B ( +102 )

(＋ 57 )＋(－ 45 ) = 0011 1001B+1101 0011B=[1]0000 1100B (进位舍弃，＋ 12 )

(－ 57 )＋(－ 45 ) = 1100 0111B+1101 0011B=[1]1001 1010B (进位舍弃，－ 102 )

(＋ 57 )－(＋ 45 ) = 0011 1001B － 0010 1101B=0000 1100B ( +12 )

(＋ 57 )－(－ 45 ) = 0011 1001B － 1101 0011B=[1]0110 0110B (借位舍弃，＋ 102 )

(－ 57 )－(－ 45 ) = 1100 0111B － 1101 0011B=[1]1111 0100B (借位舍弃，－ 12 )

( 3 )用加法完成相减运算。

 

3. 有符号数运算的溢出问题：

当两个有符号数进行加减运算时，如果运算结果超出了该字长可表示的有符号数的范

围，就会发生溢出，这时结果就会出错。显然溢出只发生在两个同符号数相加或者两个异

符号数相减的情况下。

有符号数的溢出规则如下。

( 1 )在加法运算时，如果次高位(数值最高位)相加形成进位，而最高位(符号位)相加(包

括次高位的进位)却没有进位，则结果溢出；如果次高位无进位，而最高位有进位，则结果

溢出。

( 2 )在减法运算时，如果次高位不需借位，而最高位需借位，则结果溢出；如果次高位

需借位，而最高位不需借位，则结果溢出。

CPU 中专门设置了一个记录有符号数运算是否溢出的标志 OV，当加减运算溢出时，溢出标志位会自动置 1 。