Homogenization method

最近主要阅读了：A review of homogenization and topology optimization (I,II,III)。主要内容如下（尽量以易懂的方式排序）：

一、三类material models（II的section 2）

a.中间是长方形孔的，模型参数为a,b；

b.多层模型，rank-1类似斑马线；rank-2就是斑马线的所有白线再在另一个方向有分层；每多一个rank，要多一个参数；

c.人造模型，即密度函数表示的任意模型。同样的密度定义，同样的惩罚因子。

其中，模型a,b都是没啥意思的，后面主要关注模型c相关工作。

二、二维的弹性问题（I的section 6）

问题：看等式（56），解这样的pde方程，解出u。

方法：看section最后有i,ii,iii，分别是：i.解出这样一个弱解问题；ii.利用等式（80）算出effective property；iii.求u^0。这里我们主要关注effective property，E或者D。

疑惑：其一，宏观尺度和微观尺度怎么过渡，但是有线索1，对u,theta都有asymptotic expansion，其中u^0是宏观项，其他带epsilon的都是微观项，都可以不管；线索2，微观y=宏观x/epsilon，这个目前不懂。疑惑二，孔能有几个，孔的边界确实是要光滑，看《Topological derivative for multi-scale linear elasticity models applied to the synthesis of microstructures》，孔应该是可以无限多个。

三、宏观尺度的拓扑优化框架（III的section 7）

优化目标是某个能量式子，优化变量是每个小cell的变量，例如方孔模型的a,b。

优化分homogenization模块和optimization模块，其中homogenization模块就是通过a^e,b^e算出effective property的值和一介导数值，从而服务于下面的迭代。