位运算、离散化和区间合并 算法学习

1. 位运算

1.1 使用背景

在进行位运算时，我们可以将数看为二进制数，而位运算也就是对于数特定位置的值进行运算。

1.2 例题

• 801. 二进制中1的个数

在找数字中的1的时候有两种常用方法。

• 当1<时，第i位存在1
• lowbit(x) = x & -x找出末位的1

参考代码：

int lowbit(int x){
    return x & -x;
}
void solve(){
	for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>t;
        int cnt = 0;
        for(;t;t -= lowbit(t)) cnt++;
        cout<<cnt<<' ';
    }
}

2. 离散化

2.1 使用背景

当获得的数据是在较长的范围内呈稀疏分布，为了节省使用的空间以及搜索数据的速度，我们使用了离散化对数据进行处理。

2.2 例题

• 802. 区间和

对于查询问题，我们可以通过前缀和在o(1)内求出，所以该问题的重点主要在于对于数据的离散化。

可以发现在数轴上要使用的数有插入位置x、查询左右范围l,r共三个数，将这三个数存入离散化后的数组中，并保持其位置与原数组位置的映射即可。

参考代码：

void solve(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>x>>c;
        if(a[x]) a[x] += c;
        else a[x] = c;
        all.push_back(x);
    }
    while(m--){
        cin>>l>>r;
        q.push_back({l,r});
        all.push_back(l);
        all.push_back(r);
    }
    sort(all.begin(),all.end());
    all.erase(unique(all.begin(),all.end()),all.end());
    
    for(int i=1;i<=all.size();i++){
        int t = a[all[i-1]];
        s[i] = t + s[i-1];
    }
    for(auto i:q){
        l = lower_bound(all.begin(),all.end(),i.first)-all.begin();
        r = lower_bound(all.begin(),all.end(),i.second)-all.begin();
        cout<<s[r+1] - s[l]<<endl;
    }
}

3. 区间合并

3.1 使用背景

快速对多个区间进行合并，对区间按首端点排序后，判断是否覆盖即可。

3.2 例题

• 803. 区间合并

参考代码：

void solve(){
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>l>>r;
        a.push_back({l,r});
    }
    sort(a.begin(),a.end(),[](PII t1,PII t2){
        return t1.first < t2.first;
    });
    int al = -2e9,ar = -2e9;
    for(auto i : a){
        int ml = i.first,mr = i.second;
        if(ml > ar){
            ans ++;
            al = ml;ar = mr;
        }else if(mr > ar){
            ar = mr;
        }
    }cout<<(ans ? ans : 1)<<endl;
}