算法基础学习|离散化与区间合并

位运算

代码模板

求n的第k位数字: n >> k & 1
返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n

题目：二进制中1的个数

题目

给定一个长度为  的数列，请你求出数列中每个数的二进制表示中 1 的个数。

输入格式

第一行包含整数 。

第二行包含  个整数，表示整个数列。

输出格式

共一行，包含  个整数，其中的第  个数表示数列中的第  个数的二进制表示中 1 的个数。

数据范围

,
数列中元素的值

输入样例

5
1 2 3 4 5

输出样例

1 1 2 1 2

代码示例

#include 
using namespace std;

const int N = 100010;

int a[N];

int lowbit(int x){ return x & -x; }

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
        int cnt = 0;
        while(a[i]) cnt++, a[i] -= lowbit(a[i]);
        cout << cnt << " ";
    }
}

区间和

代码模板

vector alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}

题目：区间和

题目

假定有一个无限长的数轴，数轴上每个坐标上的数都是 0。

现在，我们首先进行  次操作，每次操作将某一位置  上的数加 。

接下来，进行  次询问，每个询问包含两个整数  和 ，你需要求出在区间  之间的所有数的和。

输入格式

第一行包含两个整数  和 。

接下来  行，每行包含两个整数  和 。

再接下来  行，每行包含两个整数  和 。

输出格式

共  行，每行输出一个询问中所求的区间内数字和。

数据范围

,
,
,

输入样例

3 3
1 2
3 6
7 5
1 3
4 6
7 8

输出样例

8
0
5

代码示例

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef pair PII;

const int N = 300010;

int n, m;
int a[N], s[N];

vector alls;
vector add, query;

int find(int x) {
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (r > l) {
        int mid = r + l >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1;
}

int main() {
    cin >> n >> m;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x, c;
        cin >> x >> c;
        add.push_back({ x,c });
        alls.push_back(x);
    }

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        query.push_back({l, r});

        alls.push_back(l);
        alls.push_back(r);
    }
    // 去重
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());

    // 处理插入
    for (auto item : add) {
        int x = find(item.first);
        a[x] += item.second;
    }

    // 预处理前缀和
    for (int i = 1; i <= alls.size(); i++) s[i] = s[i - 1] + a[i];
    // 处理询问
    for (auto item : query) {
        int l = find(item.first), r = find(item.second);
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }

    return 0;
}

区间合并

代码模板

// 将所有存在交集的区间合并
void merge(vector &segs)
{
    vector res;

    sort(segs.begin(), segs.end());

    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
        if (ed < seg.first)
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);

    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});

    segs = res;
}

题目：区间合并

题目

给定  个区间 ，要求合并所有有交集的区间。

注意如果在端点处相交，也算有交集。

输出合并完成后的区间个数。

例如： 和  可以合并为一个区间 。

输入格式

第一行包含整数 。

接下来  行，每行包含两个整数  和 。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示合并区间完成后的区间个数。

数据范围

,

输入样例

5
1 2
2 4
5 6
7 8
7 9

输出样例

3

代码示例

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef pair PII;

void merge(vector &segs) {
    vector res;

    sort(segs.begin(), segs.end());

    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
        if (ed < seg.first)
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);

    res.push_back({st, ed});

    segs = res;
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);

    vector segs;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        segs.push_back({l, r});
    }

    merge(segs);

    cout << segs.size() << endl;

    return 0;
}