最大公约数和最小公倍数详解

一、最大公约数

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（1）遍历法

当给出两个数时，这两个数的最大公约数一定小于等于这两个数中较小的数，例如：12 和 24 的 最大公约数是12；

所以我们先知道这俩个数（m>n）的较小值i=n，然后观察m和n 能否整除i, 如果可以则 i 就是这俩个数的最大公约数；如果不能整除就将 i 减一，然后观察m和n 能否整除i，依次重复，知道找到能被这两个数同时整除的数，而这个数就是最大公约数。所以这里需要用循环来实现。

代码如下：

#include 

int main()
{
	int num1 = 0, num2 = 0;
	scanf("%d %d", &num1, &num2);
	int min = num1 < num2 ? num1 : num2;
	while (1)
	{
		if (num1 % min == 0 && num2 % min == 0)
			break;
		else
			min--;
	}
	printf("%d\n", min);
	return 0;
}

（2）欧几里得算法（辗转相除法）

a%b=c, 如果 c 等于零 则 b 就是最大公约数；

如果c 等于零，就把 b 的值赋给a,c的值赋给b进行运算, 即 b%c=d,观察d 是否为0，如果为零，则c就是最大公约数，如果不是就重复操作（也就是循环）。

也就是说，两个数相除，当余数为0时，被除数就是这两个数的最大公约数。

所以6就是24 和 18的最大公约数。

代码如下：

#include 

int main()
{
	int num1 = 0, num2 = 0;
	scanf("%d %d", &num1, &num2);
	int min = num1 < num2 ? num1 : num2;
	int max = num1 > num2 ? num1 : num2;
	int ret = min;
	while (ret=max%min)
	{
		max = min;
		min = ret;
	}
	printf("%d\n", min);
	return 0;
}

这两种方法，第一种遍历法比较容易理解，但是效率较低；第二种方法不容易自己想到，但是效率高。

二、最小公倍数

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（一）遍历法

同样求最小公倍数也可以使用遍历法，两个数的最小公倍数一定大于等于这两个数的较大数，

例如：12 和 24 的 最小公倍数是24；

所以我们先知道这俩个数（m>n）的较大值i=m，然后观察i能否整除m和n , 如果可以则 i 就是这俩个数的最大公约数；

如果不能整除就将 i 加一，然后观察i能否整除m和n ，依次重复，知道找到能同时整除这两个数的数，而这个数就是最小公倍数。所以这里需要用循环来实现。

代码如下：

#include 

int main()
{
	int num1 = 0, num2 = 0;
	scanf("%d %d", &num1, &num2);
	int max = num1 > num2 ? num1 : num2;
	while (1)
	{
		if (max % num1 == 0 && max % num2 == 0)
			break;
		max++;
	}
	printf("%d\n", max);
	return 0;
}

（二）利用最大公约数

最小公倍数=两个数的乘积/最大公约数

例如：24 和 18 的最大公约数是6，俩个数的乘积432，则最小公倍数为：432/6=72；

而最大公约数可以利用欧几里得算法求得。

代码如下：

#include 

int main()
{
	int num1 = 0, num2 = 0;
	scanf("%d %d", &num1, &num2);
	int min = num1 < num2 ? num1 : num2;
	int max = num1 > num2 ? num1 : num2;
	int ret = min;
	while (ret=max%min)
	{
		max = min;
		min = ret;
	}
	printf("%d\n", (num1*num2)/ min);
	return 0;
}

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