C语言-算法-线性dp

[USACO1.5] [IOI1994]数字三角形 Number Triangles

题目描述

观察下面的数字金字塔。

写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。

在上面的样例中，从 $7\to 3\to 8\to 7\to 5$ 的路径产生了最大权值。

输入格式

第一个行一个正整数 $r$ ,表示行的数目。

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

输出格式

单独的一行,包含那个可能得到的最大的和。

样例 #1

样例输入 #1

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

样例输出 #1

30

提示

【数据范围】
对于 $100\%$ 的数据，$1\le r\le 1000$，所有输入在 $[0,100]$ 范围内。

代码

#include 
#include 
int max(int a, int b); // 用于比较两个数的大小的函数
#define MAX 10000
int dp[MAX][MAX]; // 定义一个二维数组，用于存储金字塔和动态规划的状态

int main(int argc, char *argv[])
{
	int r, i, j;
	scanf("%d", &r);
	
	for (i = 1; i <= r; i++)
	{
		for (j = 1; j <=i; j++)
		{
			scanf("%d", &dp[i][j]); // 读取该位置的值
		}
	}
	for (i = r - 1; i >= 1; i--) // 从倒数第二行开始，逐行向上
	{
		for (j = 1; j <= i; j++)
		{
			// 选择下方或者右下方的较大值，然后加上当前位置的值
			dp[i][j] += max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]);
		}
	}
	printf("%d\n", dp[1][1]); // 输出顶部的值，即最大值
	return 0;
}

int max(int a, int b) // 用于比较两个数的大小的函数
{
	if (a > b)
	{
		return a;
	}
	else
	{
		return b;
	}
}

[USACO11JAN] Profits S

题目描述

The cows have opened a new business, and Farmer John wants to see how well they are doing. The business has been running for N (1 <= N <= 100,000) days, and every day i the cows recorded their net profit P_i (-1,000 <= P_i <= 1,000).

Farmer John wants to find the largest total profit that the cows have made during any consecutive time period. (Note that a consecutive time period can range in length from one day through N days.) Help him by writing a program to calculate the largest sum of consecutive profits.

奶牛们开始了新的生意，它们的主人约翰想知道它们到底能做得多好。这笔生意已经做了N（1≤N≤100,000）天，每天奶牛们都会记录下这一天的利润Pi（-1,000≤Pi≤1,000）。

约翰想要找到奶牛们在连续的时间期间所获得的最大的总利润。（注：连续时间的周期长度范围从第一天到第N天）。

请你写一个计算最大利润的程序来帮助他。

输入格式

* Line 1: A single integer: N

* Lines 2…N+1: Line i+1 contains a single integer: P_i

输出格式

* Line 1: A single integer representing the value of the maximum sum of profits for any consecutive time period.

样例 #1

样例输入 #1

7 
-3 
4 
9 
-2 
-5 
8 
-3

样例输出 #1

14

提示

The maximum sum is obtained by taking the sum from the second through the sixth number (4, 9, -2, -5, 8) => 14.

代码

#include 
#include 
int max(int a, int b); // 比较两个数的大小的函数
#define MAXN 200000

int main(int argc, char *argv[])
{
	int N, i, P[MAXN], max_P;
	int dp[MAXN]; // 表示以第i天结束的最大连续子序列的和
	scanf("%d", &N);
	
	for (i = 1; i <= N; i++)
	{
		scanf("%d", &P[i]); // 每天的利润
	}
	dp[1] = P[1]; // 初始化dp[1]为第一天的利润
	max_P = dp[1]; // 记录最大的利润
	for (i = 2; i <= N; i++)
	{
		dp[i] = max(dp[i - 1] + P[i], P[i]); // 状态转移方程
		max_P = max(max_P, dp[i]); // 更新最大利润
	}
	printf("%d", max_P);
	
	return 0;
}

int max(int a, int b) // 比较两个数的大小的函数
{
	if (a > b)
	{
		return a;
	}
	else
	{
		return b;
	}
}